en ingenjör vän till mig överraskade mig nyligen genom att säga att han inte var säker på om nummer 1 var prime eller inte. Jag blev förvånad eftersom bland matematiker, 1 är allmänt betraktas som icke-prime.
förvirringen börjar med denna definition en person kan ge av ”prime”: ett primtal är ett positivt heltal som endast är delbart med 1 och sig själv. Nummer 1 är delbart med 1, och det är delbart av sig själv. Men själv och 1 är inte två olika faktorer., 1 prime eller inte? När jag skriver definitionen av prime i en artikel försöker jag ta bort den tvetydigheten genom att säga att ett primtal har exakt två distinkta faktorer, 1 och sig själv, eller att en prime är ett heltal större än 1 som bara är delbart med 1 och sig själv. Men varför gå till dessa längder för att utesluta 1?
min matematiska träning lärde mig att den goda orsaken till att 1 inte anses vara prime är aritmetikens grundläggande teorem, vilket säger att varje nummer kan skrivas som en produkt av primtal på exakt ett sätt. Om 1 var prime, skulle vi förlora det unika., Vi kunde skriva 2 som 1×2, eller 1×1×2, eller 1594827×2. Exklusive 1 från primerna släpper ut det.
min ursprungliga plan för hur denna artikel skulle gå var att jag skulle förklara den grundläggande teorem aritmetiska och göras med det. Men det är verkligen inte så svårt att ändra uttalandet av aritmetikens grundläggande teorem för att ta itu med 1-problemet, och trots allt väckte min väns fråga min nyfikenhet: Hur samlades matematiker på denna definition av prime?, En snabb blick runt några Wikipedia-sidor relaterade till nummerteori visar påståendet att 1 brukade betraktas som prime men inte längre. Men ett papper av Chris Caldwell och Yeng Xiong visar konceptets historia är lite mer komplicerat. Jag uppskattade denna känsla från början av sin artikel: ”för det första, huruvida ett tal (särskilt enhet) är en prime är en fråga om definition, så en fråga om val, sammanhang och tradition, inte en fråga om bevis., Men definitioner görs inte slumpmässigt; dessa val är bundna av vår användning av matematik och, särskilt i detta fall, av vår notation.”
Caldwell och Xiong börjar med klassiska grekiska matematiker. De ansåg inte att 1 var ett tal på samma sätt som 2, 3, 4 och så vidare är siffror. 1 ansågs vara en enhet, och ett antal bestod av flera enheter. Av den anledningen kunde 1 inte ha varit prime – det var inte ens ett nummer. Nionde århundradet Arabisk matematiker al-Kindī skrev att det inte var ett tal och därför inte ens eller udda., Uppfattningen att 1 var byggstenen för alla nummer men inte ett nummer i sig varade i århundraden.
i 1585 påpekade den flamländska matematikern Simon Stevin att när man gör aritmetik i bas 10 är det ingen skillnad mellan siffran 1 och andra siffror. För alla syften och syften beter sig 1 som någon annan storleksordning gör. Även om det inte var omedelbart, ledde denna observation så småningom matematiker att behandla 1 som ett tal, precis som alla andra nummer.
genom slutet av 1800-talet ansåg några imponerande matematiker 1 prime, och vissa gjorde det inte., Såvitt jag kan säga var det inte en fråga som orsakade strid. för de mest populära matematiska frågorna var skillnaden inte särskilt viktig. Caldwell och Xiong citerar G. H. Hardy som den sista stora matematikern att överväga 1 att vara prime. (Han inkluderade det uttryckligen som en prime i de första sex utgåvorna av en kurs i ren matematik, som publicerades mellan 1908 och 1933. Han uppdaterade definitionen 1938 för att göra 2 den minsta prime.)
artikeln nämner men dyker inte in i några av de förändringar i matematik som hjälpte till att stelna definitionen av prime och utesluta 1., Specifikt, en viktig förändring var utvecklingen av uppsättningar av siffror bortom heltal som beter sig något som heltal.
i det allra mest grundläggande exemplet kan vi fråga om antalet -2 är prime. Frågan kan verka meningslös, men det kan motivera oss att sätta i ord den unika roll 1 i hela tal. Den mest ovanliga aspekten av 1 i hela tal är att den har en multiplikativ invers som också är ett heltal. (En multiplikativ invers av numret x är ett tal som när multiplicerat med x ger 1., Numret 2 har en multiplikativ invers i uppsättningen av rationella eller reella tal, 1/2: 1/2×2 = 1, men 1/2 är inte ett heltal.) Nummer 1 råkar vara sin egen multiplikativa inverse. Inget annat positivt heltal har en multiplikativ invers inom uppsättningen heltal.* Egenskapen att ha en multiplikativ invers kallas att vara en enhet. Antalet -1 är också en enhet inom uppsättningen heltal: igen är det sin egen multiplikativa invers. Vi anser inte att enheter är antingen prime eller composite eftersom du kan multiplicera dem med vissa andra enheter utan att ändra mycket., Vi kan då tänka på antalet -2 som inte så annorlunda än 2; ur multiplikationssynpunkt är -2 bara 2 gånger en enhet. Om 2 är prime, -2 bör också vara.
jag undvek medvetet att definiera prime i föregående stycke på grund av ett olyckligt faktum om definitionen av prime när det gäller dessa större uppsättningar siffror: det är fel! Tja, det är inte fel, men det är lite kontraintuitiv, och om jag var drottningen av nummerteori, skulle jag inte ha valt för termen att ha definitionen det gör., I de positiva heltalen har varje primtal p två egenskaper:
numret p kan inte skrivas som en produkt av två heltal, varav ingen är en enhet.
När en produkt m×n är delbar med p, måste m eller n vara delbar med p. (för att kolla vad den här egenskapen betyder på ett exempel, föreställ dig att m=10, n=6 och p=3.)
den första av dessa egenskaper är vad vi kan tänka oss som ett sätt att karakterisera primtal, men tyvärr är termen för den egenskapen irreducibel. Den andra egenskapen kallas prime., Vid positiva heltal uppfyller naturligtvis samma tal båda egenskaperna. Men det är inte sant för alla intressanta nummer.
som ett exempel, låt oss titta på uppsättningen siffror i formuläret a+b√-5 eller A+ib√5, där A och b är både heltal och jag är kvadratroten av -1. Om du multiplicerar siffrorna 1 + √-5 och 1 – √-5 får du 6. Naturligtvis får du också 6 Om du multiplicerar 2 och 3, som också finns i denna uppsättning siffror, med B=0. Var och en av numren 2, 3, 1+√-5 och 1-√-5 kan inte brytas ner ytterligare och skrivas som en produkt av siffror som inte är enheter., (Om du inte tar mitt ord för det, det är inte alltför svårt att övertyga dig själv.) Men produkten (1+√-5)(1-√-5) är delbar med 2, och 2 delar inte antingen 1 + √-5 eller 1 – √-5. (Än en gång kan du bevisa det för dig själv om du inte tror mig.) Så 2 är irreducible, men det är inte prime. I denna uppsättning siffror kan 6 räknas in i irreducibla tal på två olika sätt.,
numret som anges ovan, vilka matematiker kan kalla Z (uttalas ”zee gränsar till kvadratroten av negativ fem ”eller” zed gränsar till kvadratroten av negativ fem, pip pip, cheerio ” beroende på vad du vill kalla den sista bokstaven i alfabetet), har två enheter, 1 och -1. Men det finns liknande antal uppsättningar som har ett oändligt antal enheter. Som uppsättningar som detta blev föremål för studier, är det vettigt att definitionerna av enhet, irreducible och prime skulle behöva noggrant avgränsas., I synnerhet, om det finns nummeruppsättningar med ett oändligt antal enheter, blir det svårare att räkna ut vad vi menar med unik faktorisering av siffror om vi inte klargör att enheter inte kan vara prime. Även om jag inte är en matematikhistoriker eller en talteoretiker och skulle älska att läsa mer om exakt hur denna process ägde rum innan jag spekulerade vidare, tror jag att det här är en utveckling Caldwell och Xiong anspelar på det motiverade uteslutandet av 1 från primerna.,
som händer så ofta, mitt första snyggt och snyggt svar för varför saker är hur de slutade vara bara en del av historien. Tack vare min vän för att ställa frågan och hjälpa mig att lära mig mer om den röriga historien om primalitet.
*denna mening redigerades efter publicering för att klargöra att inget annat positivt heltal har en multiplikativ invers som också är ett heltal.