Poisson distribution är faktiskt en viktig typ av sannolikhetsfördelning formel. Som i binomialfördelningen kommer vi inte att veta antalet försök, eller sannolikheten för framgång på ett visst spår. Det genomsnittliga antalet framgångar kommer att ges för ett visst tidsintervall. Det genomsnittliga antalet framgångar kallas ”Lambda” och betecknas med symbolen \(\lambda\). I den här artikeln kommer vi att diskutera Poisson-distributionsformeln med exempel. Låt oss börja lära!,
Poisson Distributionsformel
begreppet Poisson distribution
den franska matematikern Siméon-Denis Poisson utvecklade denna funktion 1830. Detta används för att beskriva antalet gånger en spelare kan vinna en sällan vunnit hasardspel av ett stort antal försök.
Poisson random variable följer följande villkor:
- antalet framgångar i två delade tidsintervaller är oberoende.,
- sannolikheten för framgång under ett givet litet tidsintervall är proportionell mot hela tidsintervallets längd.
förutom de gemensamma tidsintervallen gäller Poisson random variable även för delade regioner i rymden.
vissa tillämpningar av Poisson distribution är följande:
- antalet dödsfall av häst sparkar i armén av Preussiska.
- fosterskador och genetiska mutationer.
- sällsynta sjukdomar som leukemi, eftersom det är mycket smittsam och så inte oberoende främst i rättsliga fall.
- bilolycka förutsägelse på vägar.,
- trafikflöde och det ideala gapet avståndet mellan fordon.
- antalet skrivfel som finns på en sida i en bok.
- hår som finns i McDonalds hamburgare.
- spridningen av ett utrotningshotat djur i Afrika.
- fel på en maskin på en månad.
formel för Poisson Distribution
sannolikhetsfördelningen för en Poisson slumpvariabel låt oss anta X. Det representerar antalet framgångar som förekommer i ett visst tidsintervall ges av formeln:
\(\displaystyle{ P }{\left({ X }\right )}=\frac{{{ e }^{-\mu}\mu^{ x}} {{{x}!,}}\)
där
\(\displaystyle{x}={0},{1},{2},{3},…\)
\(\displaystyle{E}={2.71828}\)
\(\mu\)= medelantal framgångar i det givna tidsintervallet eller området av rymden.
medelvärde och varians av Poisson distribution:
If \(\mu\) är det genomsnittliga antalet framgångar som förekommer i ett visst tidsintervall eller region i Poisson distribution. Då är medelvärdet och variansen av Poisson-fördelningen lika med \(\mu\).,
således
E(X) = \(\mu\)
och
v(X) = \(\sigma^2 = \mu\)
Kom ihåg att i en Poisson-fördelning behövs endast en parameter, \(\mu\) för att bestämma sannolikheten för en viss händelse.
några lösta exempel för dig
exempel-1: Vissa fordon passerar genom en korsning på en trafikerad väg med en genomsnittlig hastighet av 300 per timme.
- ta reda på sannolikheten att ingen passerar i en given minut.
- vad är det förväntade antalet passerar i två minuter?,
- hitta sannolikheten att detta förväntade nummer som finns ovan faktiskt passerar igenom under en given tvåminutersperiod.
lösning: först kommer vi att beräkna,
det genomsnittliga antalet bilar per minut är:
\(\displaystyle \ mu = \ frac{300}{{60}}\)
\(\displaystyle\ mu\) = 5
(a)tillämpa formeln:
\(\displaystyle{P} {\left({ X} \right)} =\frac{{{ e} ^{- \mu} \ mu^{x}}}{{{x}!}}\)
\(\displaystyle{ P} {\left ({x }_{{ 0}} \ right)} = \ frac{{{e}^{ -{{5}}}{5}^{0}}}{{{0}!}}={ 6.,7379} \ tider{10}^{ -{{3}}} \)
(b) förväntat antal varje 2 minuter = e(X) = 5 × 2 = 10
(c) nu, med \(\mu\) = 10, har vi:
\(\displaystyle{ P} {\left ({x }_{{ 10 }}\right)} = \ frac {{{e}^{ -{{10}}}{10}^{10}}}{{{10}!}} = { 0.12511 }\)