i matematik är en linjär approximation formel en approximation av en allmän funktion med hjälp av en linjär funktion (mer exakt, en affine funktion). De används ofta i metoden för ändliga skillnader för att producera första ordermetoder för att lösa eller approximera lösningar till ekvationer.
denna approximation är avgörande för många kända numeriska tekniker såsom Eulers metod för att approximera lösningar till vanliga differentialekvationer., Idén att använda linjära approximationer vilar i närheten av tangentlinjen till grafen av funktionen runt en punkt.
formel
den här lektionen visar hur man hittar en linearisering av en funktion och hur man använder den för att göra en linjär approximation. Denna metod används ganska ofta inom många vetenskapsområden, och det kräver att man vet lite om kalkyl, specifikt hur man hittar ett derivat.,
Tangent plan och linjära approximationer
intuitivt, det verkar klart att i ett plan, endast en linje kan tangent till en kurva vid en punkt. Men i tredimensionellt utrymme kan många linjer tangenteras till en given punkt. Om dessa linjer ligger i samma plan bestämmer de tangentplanet vid den tiden. Ett mer intuitivt sätt att tänka på ett tangent plan är att anta att ytan är jämn vid den punkten (inga hörn). Sedan, en tangent linje till ytan vid den punkten i någon riktning inte har några plötsliga förändringar i lutning eftersom riktningen ändras smidigt., Därför berör ett tangent plan i ett tillräckligt litet område runt punkten endast ytan vid den punkten.
Tangent linjer och Linearisering
låt oss granska ett grundläggande faktum om derivat. Värdet av derivatet vid en viss punkt, x = a, mäter kurvans lutning, y = f(x) vid den punkten. Med andra ord, f ’(a) = lutningen på tangentlinjen vid en.,
nu är tangentlinjen speciell eftersom det är den enda linje som matchar kurvans riktning närmast, vid det specifika x-värde du är intresserad av. Lägg märke till hur nära Y-värdena för funktionen och tangentlinjen är när x ligger nära den punkt där tangentlinjen möter kurvan.,
Så, om kurvan y = F(x) är alldeles för komplicerad att arbeta med, och om du bara är intresserad av värden för funktionen nära en viss punkt, då kan du kasta bort funktionen och bara använda tangentlinjen. Kasta inte bort funktionen. . . vi kan behöva det senare!
formel för Linearisering
Så, hur hittar du lineariseringen av en funktion f vid en punkt x = a?, Kom ihåg att ekvationen för en linje kan bestämmas om du vet två saker:
- lutningen på linjen, m
- en enda punkt som linjen går igenom, (a, b).
vi pluggar dessa bitar av information i punkthöjningsformen, vilket ger oss ekvationen för linjen. (Detta är bara algebra, folk; ingen kalkyl ännu.)
y – b = m(x–a)
men i problem som dessa kommer du inte att få värden för b eller m. istället måste du hitta dem själv., För det första M = f ’(A), eftersom derivatet mäter lutningen, och för det andra B = f(A), eftersom den ursprungliga funktionen mäter y-värden.
lokal linjär Approximation formel
linjär approximation är processen att hitta ekvationen för en linje som är den närmaste uppskattningen av en funktion för ett givet värde av x. linjär approximation är också känd som tangent linje approximation, och det används för att förenkla formlerna i samband med trigonometriska funktioner, särskilt i optik., Vid oändligt nära observation börjar en kurva likna en rak linje, så linjär approximation kan mycket noggrant imitera funktionen. För en två gånger differentierbar, värderad funktion f(x), 
, där R2 är återstoden term. Den linjära approximationen ges då av 
. Denna approximation motsvarar ekvationen för tangentlinjen vid a.,
tillämpningar av linjära approximationer
Optik
Gaussisk optik är en teknik i geometrisk optik som beskriver ljusstrålarnas beteende i optiska system genom att använda paraxial approximation, där endast strålar som gör små vinklar med systemets optiska axel beaktas. I denna approximation kan trigonometriska funktioner uttryckas som linjära funktioner i vinklarna. Gaussisk optik gäller system där alla optiska ytor är antingen plana eller är delar av en sfär., I detta fall kan enkla uttryckliga formler ges för parametrar för ett bildsystem som brännvidd, förstoring och ljusstyrka, när det gäller de geometriska formerna och materialegenskaperna hos de ingående elementen.
oscillationsperiod
svängningsperioden för en enkel gravitationspendul beror på dess längd, den lokala tyngdkraften och i liten utsträckning på den maximala vinkeln som pendeln svänger bort från vertikal, θ0, kallad amplituden. Det är oberoende av Bobs massa., Den sanna perioden T av en enkel pendel, tiden för en komplett cykel av en idealisk enkel gravitationspendul, kan skrivas i flera olika former.