sedan 1970-talet har optionsprismodellen som utvecklats av Robert Merton, Myron Scholes och Fischer Black funnits och används fortfarande i praktiken för att beräkna värdet av alternativ. Sedan dess har modellen upprepade gånger genomgått förändringar, men har varit mer eller mindre densamma i sin grundläggande design., De tre vetenskapsmännens modell visade sig till och med vara så framgångsrik att Merton och Scholes fick Nobelpriset i ekonomi 1997. Black hade dött 1995. Även om modellen är korrekt kallad Black-Scholes-Merton-modellen, nämns Merton i praktiken inte längre och för enkelhetens skull hänvisar nästan alla läroböcker, utövare och akademiker idag till modellen som Black-Scholes-modellen.
den svarta Scholes-modellen är i grunden mycket lik den binomiala trädmodell som vi redan vet., Men här är tidsperioderna uppdelade i ett nästan oändligt antal delperioder. Sektionerna är så små att de slår samman i varandra. Således ett tid-kontinuerligt system (Engl. kontinuerlig tid Modell). Den svarta Scholes-modellen är den tids kontinuerliga modellen av binomialmodellen.
grundläggande antaganden i Black-Scholes-modellen
• alternativet är europeisk stil.
• det finns inga utdelningar eller andra kassaflöden under terminen.
• det finns inga transaktionskostnader.,
• Normal distribution: avkastningen på underliggande tillgångar fördelas normalt.
• den riskfria räntan är känd och är konstant under optionens löptid.
• volatiliteten (fluktuationsintervallet för priset) för det underliggande är känt och är konstant under optionens löptid.
Excursus fast ränta (Engl. kontinuerlig kompoundering), logaritmen och den naturliga logaritmen
Antag att en säkerhet är värd 10 euro idag. Efter ett år har värdet av säkerheten stigit till 11 euro, dvs. med 10%., Om denna värdeökning, dvs. avkastningen, betalas kontinuerligt beräknas dock avkastningen med hjälp av den naturliga logaritmen. Denna naturliga logaritm kallas ln i matematik. I vårt exempel skulle avkastningen vara ln (1.10)=0.0953 vilket motsvarar 9.53%. Om dessa kontinuerligt räntebärande returer normalt distribueras talar vi om lognormalt fördelade returer. Black-Scholes-modellen arbetar med dessa lognormala distributioner!,>
värdet på samtalsalternativet är: \( C=S_{0}*N(d_{1})-Ke^{-r^{c}t}N(d_{2}) \)
värdet på säljalternativet är: \( p=Ke^{-r^{c}t}\left-s_{0}\left \)
var \( d_{1}=\frac{ln(S_{0}/K)+\leftt}{\Sigma\sqrt{t}} \)
och \( d_{2}=D_{1}-\Sigma\sqrt{t} \)
\( s_{0} \) är priset i-baserat vid tiden \( t_{0} \)
c är priset på samtalet
p är priset på sätter
X är strejken av alternativet
p > \ (r^{C} \) är kontinuerligt, räntor, riskfri ränta
t är tidsperioden fram till utgången av alternativet, visas i delar per år (till exempel,,B. 1 månad = 1/12, 1 dag = 1/365, ect.)
σ (”Sigma”) är volatiliteten, dvs den årliga standardavvikelsen för avkastningen för den underliggande tillgången
\( σ^{2} \) är variansen av inkomstbasvärdet
ln är den naturliga logaritmen
e är Eulers nummer (e är basen för den naturliga logaritmen och är ett oändligt antal rundade hon är 2,71828)
n(d) är området för den underliggande tillgången
under normalfördelningskurvan. Värdet av N (d) finns i standardfördelningstabeller., Tabellen finns i någon lärobok för statistik, i någon alternativ programvara eller på Wikipedia under ”tabell Standard Normal Distribution”.
eftersom själva formeln kan ses behöver vi följande variabler för beräkning av optionspriser:
• priset på den underliggande tillgången
• lösenpriset
• * tiden för utövandet av vårt alternativ
* den riskfria räntesatsen
• * volatiliteten (standardavvikelsen) basvärdet
dessa förkortas med de så kallade ”grekerna”.,
informationskällor för variablerna
men var får vi värdena för de enskilda variablerna? Det enklaste sättet är att ha direkt tillgång till ett informationssystem som Reuters eller Bloomberg. Men eftersom dessa system är extremt dyra gäller det inte för alla.
en annan, mest allmänt tillgänglig källa är värdepapper och terminsutbyten. De flesta utbyten publicerar försenade data på sina webbplatser. Å andra sidan säljer de realtidsdata själva till Reuters, Bloomberg och Co., För en ren övning är en ungefärlig värdering samt en efterföljande priskontroll, tidsfördröjda data tillräckliga (vanligtvis är det 15 minuter, men vissa utbyten ger sina uppgifter endast en dag försenat pris). Tidsfördröjda data är dock inte längre idealiska för handel i större skala.
på börsen hittar du alltid priset på den underliggande tillgången, som du absolut behöver som en viktig variabel.
om optioner redan handlas på terminsutbyten på din underliggande, kan du se optionernas underförstådda volatilitet där., Använd sedan denna volatilitet eftersom den indikerar hur professionella marknadsgaranter av stora investeringsbanker ser fluktuationsområdet i priset på det underliggande för exakt detta alternativ. Implicit kallas denna volatilitet eftersom den inte kan läsas direkt någonstans, men är bara ”omberäknad” från omsatta alternativ.
den underförstådda volatiliteten – liksom den underliggande historiska volatiliteten – förändras ständigt. Varje gång du uppdaterar ditt pris måste du också justera volatiliteten.,
om inga alternativ handlas på din underliggande på finansmarknaden måste du själv göra antaganden om volatilitet. Du kan använda historisk volatilitet i underliggande som utgångspunkt, som du antingen kan beräkna på grundval av tidsserier av prisdata själv eller, om du har tur, har redan beräknats för dig av börsen. Men var noga med att välja en rimlig period! Därefter behöver du fortfarande göra justeringar som speglar dina förväntningar på framtiden (dvs. löptiden för ditt alternativ)., Det låter lättare än det faktiskt är, för ingen känner till framtiden, och du måste därför anpassa dig hela tiden.