eller: hur man undviker polynom lång Division när hitta faktorer
minns du att göra division I aritmetik?
”7 dividerat med 2 är lika med 3 med en återstod av 1”
varje del av divisionen har namn:
som kan skrivas om som en summa så här:
polynom
Tja, vi kan också dela polynom.,
f(x) D(x) = q(x) med en återstod av r(x)
men det är bättre att skriva det som en summa så här:
som i det här exemplet med Polynomial Long Division:
men du behöver veta en sak:
graden av r(x) är alltid mindre än D(x)
säg att vi delar med ett polynom av grad 1 (som ”x−3”) resten kommer att ha grad 0 (med andra ord en konstant, som ”4”).,dividera f(x) med det enkla polynomet x−c får vi:
f(x) = (x−C)·q(x) + r(x)
x−C är Grad 1, Så r(x) måste ha grad 0, så det är bara en konstant r :
f(x) = (x−C)·q(x) + r
Se nu vad som händer när vi har x lika med c:
så vi får det här:
resten sats:
När vi delar ett polynom f(x) med x−C är resten f(c)
så för att hitta resten efter att dividera med x-c behöver vi inte göra någon Division:
beräkna bara f(c).,
låt oss se det i praktiken:
faktorn teorem
Nu …
vad händer om vi beräknar f (C) och det är 0?
… det betyder att resten är 0, och …
… (x−c) måste vara en faktor i polynomet!
Vi ser detta när vi delar hela tal. Till exempel 60, 20 = 3 utan återstod. Så 20 måste vara en faktor på 60.,
exempel: x2-3x-4
f(4) = (4)2-3(4)-4 = 16-12-4 = 0
så (x−4) måste vara en faktor x2−3x−4
och så har vi:
faktorn teorem:
När f(c)=0 då x−C är en faktor f(x)
och den andra vägen runt, också:
När x−C är en faktor f(x) då f(C)=0
varför är detta användbart?
att veta att x−C är en faktor är densamma som att veta att C är en rot (och vice versa).,
faktorn ”x−C” och roten ”C” är samma sak
känner till en och vi känner till den andra
för en sak betyder det att vi snabbt kan kontrollera om (x−C) är en faktor i polynomet.
sammanfattning
resten Sats:
- när vi delar ett polynom f(x) med x−C är resten f(c)
faktorn Sats:
- när f(C)=0 är x−c en faktor för f(x)
- när x−c är en faktor för F(X)
- när X-C är en faktor för F(x) sedan f (c)=0