Since the 1970s, the option pricing model developed by Robert Merton, Myron Scholes and Fischer Black has been around, and is still used in practice to calculate the value of options. Desde então, o modelo passou repetidamente por mudanças, mas permaneceu mais ou menos o mesmo em seu projeto básico., O modelo dos três cientistas provou ser tão bem sucedido que Merton e Scholes receberam o Prêmio Nobel de economia em 1997. Black tinha morrido em 1995. Embora o modelo seja corretamente chamado de modelo Black-Scholes-Merton, na prática Merton não é mais mencionado e, por uma questão de simplicidade, quase todos os livros, praticantes e acadêmicos hoje se referem ao modelo como o modelo Black-Scholes.
o modelo Black Scholes é basicamente muito semelhante ao modelo de árvore binomial que já conhecemos., No entanto, aqui os períodos de tempo são divididos em um número quase infinito de sub-períodos. As seções são tão pequenas que se fundem umas nas outras. Assim, um sistema de tempo contínuo (Engl. modelo de tempo contínuo). O modelo Scholes preto é o modelo Tempo-contínuo do modelo binomial.
pressupostos básicos no modelo Black-Scholes
• * a opção é o estilo Europeu.não há dividendos ou outros fluxos de caixa durante o período.
• não existem custos de transacção., distribuição Normal: os rendimentos dos activos subjacentes às operações de política monetária são normalmente distribuídos.
• a taxa de juro sem risco é conhecida e é constante ao longo do prazo da opção.
• a volatilidade (margem de flutuação do preço) do subjacente é conhecida e é constante ao longo do prazo da opção. Excursus on steady interest (Engl. composição contínua), o logaritmo e o logaritmo natural
suponha que uma segurança vale 10 euros hoje. Após um ano, o valor da garantia subiu para 11 euros, ou seja, 10%., No entanto, se este aumento de valor, ou seja, este rendimento, for remunerado numa base contínua, este rendimento é calculado utilizando o logaritmo natural. Este logaritmo natural é chamado ln em matemática. No nosso exemplo, o rendimento seria ln (1,10)=0,0953, o que corresponde a 9,53%. Se esses retornos continuamente com juros são normalmente distribuídos, falamos de retornos distribuídos de forma cognormal. O modelo Black-Scholes trabalha com essas distribuições lognormais!,>
o valor da Opção de compra é: \( c=S_{0}*N(d_{1})-Ke^{-r^{c}T}N(d_{2}) \)
o valor da Opção de venda é: \( p=Ke^{-r^{c}T}\left-S_{0}\left \)
onde \( d_{1}=\frac{ln(S_{0}/K)+\leftT}{\sigma\sqrt{T}} \)
e \( d_{2}=d_{1}-\sigma\sqrt{T} \)
\( S_{0} \) é o preço Baseado no tempo \( T_{0} \)
c é o preço da Chamada
p é o preço que o Coloca
X é o Strike da Opção
\( r^{c} \) é o em uma Base contínua, taxas de juros, risco de taxa de juros livre
T é o período de tempo até o vencimento da Opção, mostrado em Partes de um ano (por exemplo,,,B. 1 mês = 1/12, 1 dia = 1/365, ect.)
σ (Sigma) é a volatilidade, i.e. o anualizado desvio padrão dos retornos do ativo subjacente
\( σ^{2} \) é a variância da renda valor-base
ln é o logaritmo natural
e é o número de Euler (e é a base do logaritmo natural e é um infinito número arredondado ela é 2,71828)
N(d) é a área sob a curva de distribuição normal. O valor de N (d) pode ser encontrado em tabelas de distribuição padrão., A tabela pode ser encontrada em qualquer livro para estatísticas, em qualquer software de opção ou na Wikipédia sob “tabela padrão distribuição Normal”.
Como a fórmula em si pode ser visto, temos as seguintes variáveis para o cálculo de opção de preços:
• O preço do ativo subjacente
• O preço de exercício
• o tempo para O exercício da Opção
• A taxa livre de risco de interesse
• A volatilidade (desvio padrão) o valor-base
Estes são abreviados, com os chamados “Gregos”.,
Fontes de informação para as variáveis
mas onde é que obtemos os valores para as variáveis individuais? A maneira mais fácil é ter acesso direto a um sistema de informação como Reuters ou Bloomberg. No entanto, uma vez que estes sistemas são extremamente dispendiosos, isso não se aplica a todos. outra fonte, na sua maioria acessível ao público, são as bolsas de valores e as bolsas de futuros. A maioria dos intercâmbios publicam dados atrasados em seus sites. Por outro lado, eles próprios vendem dados em tempo real para Reuters, Bloomberg e Co., Para um exercício puro, uma avaliação aproximada, bem como uma verificação de preços subsequente, os dados com atraso de tempo são suficientes (normalmente são 15 minutos, mas algumas bolsas dão os seus dados apenas um dia de atraso de preço). No entanto, os dados com atraso de tempo já não são ideais para a negociação em maior escala.
na bolsa você sempre encontrará o preço do ativo subjacente, que você absolutamente precisa como uma variável importante. se as opções já forem negociadas em bolsas de futuros sobre a sua base subjacente, poderá ver aí a volatilidade implícita das opções., Em seguida, use esta volatilidade porque indica como profissionais fabricantes de mercado de grandes bancos de investimento ver a margem de flutuação no preço do subjacente para exatamente esta opção. Implicitamente, esta volatilidade é chamada porque não pode ser lida diretamente em qualquer lugar, mas é apenas “recalculada” a partir de opções negociadas.
a volatilidade implícita – bem como a volatilidade histórica da subjacente-está em constante mudança. Cada vez que você atualizar o seu preço, você também precisa ajustar a volatilidade.,se não forem negociadas opções sobre a sua base subjacente no mercado financeiro, deve ser você próprio a assumir pressupostos para a volatilidade. Você pode usar a volatilidade histórica no subjacente como um ponto de partida, que você pode calcular com base em séries cronológicas dos dados de preço você mesmo ou, se você tiver sorte, já foi calculado para você pela bolsa de valores. Mas não se esqueça de escolher um período razoável! Depois disso, você ainda precisa fazer ajustes que refletem suas expectativas para o futuro (ou seja, o prazo de sua opção)., Isso soa mais fácil do que realmente é, porque ninguém conhece o futuro, e você terá, portanto, que se ajustar constantemente.