Teorema do Teorema do fator restante

ou: como evitar divisão polinomial longa quando encontrar fatores

lembra-se de fazer divisão em aritmética?

“7 dividido por 2 é igual a 3, com um resto de 1”

Cada parte da divisão tem os nomes de:

o Que pode ser reescrita como uma soma, como este:

Polinômios

Bem, podemos também dividir polinômios.,

f(x) ÷ d(x) = q(x) com um resto r(x)

Mas é melhor escrevê-lo como uma soma, como este:

Como neste exemplo usando o Polinômio de Divisão Longa:

Mas, você precisa saber mais uma coisa:

Dizer que dividir por um polinômio de grau 1 (tais como “x 3”) o remanescente terá o grau 0 (em outras palavras, uma constante, como “4”).,dividir f(x) pelo polinômio x−c temos:

f(x) = (x−c)·q(x) + r(x)

x−c, grau 1, então r(x) tem grau 0, então é apenas alguns constante r :

f(x) = (x−c)·q(x) + r

Agora veja o que acontece quando temos x igual a c:

Assim, nós temos a este:

Então, para encontrar o resto depois da divisão por x-c nós não precisamos fazer qualquer divisão:

Basta calcular f(c).,

vamos ver que na prática:

o Teorema do fator

Agora …e se calcularmos f (c) e for 0?

… isso significa que o restante é 0, e …

… (x-C) deve ser um fator do polinômio!

Exemplo: x2−3x−4

f(4) = (4)2-3(4)-4 = 16-12-4 = 0

então, (x−4) deve ser um fator de x2−3x−4

O Fator Teorema:

Quando f(c)=0, x−c é um fator de f(x)

E o contrário também:

Quando o x−c é um fator de f(x), então f(c)=0

O fator “x−c” e a raiz “c” são a mesma coisa

Sabe e nós sabemos que o outro

O Restante Teorema:

• Quando dividimos um polinˆ omio f(x) por x−c, o restante é f(c)

O Fator Teorema:

• Quando f(c)=0, x−c é um fator de f(x)
• Quando x−c é um fator de f(x), então f(c)=0