Em matemática, uma aproximação linear fórmula é uma aproximação de uma função geral, usando uma função linear (mais precisamente, uma função afim). Eles são amplamente utilizados no método de diferenças finitas para produzir métodos de primeira ordem para resolver ou aproximar soluções para equações.
esta aproximação é crucial para muitas técnicas numéricas conhecidas, tais como o método de Euler para aproximar soluções para equações diferenciais ordinárias., A idéia de usar aproximações lineares repousa na proximidade da linha tangente ao grafo da função em torno de um ponto.
Fórmula
Esta lição mostra como localizar uma linearização de uma função e como usá-lo para fazer uma aproximação linear. Este método é usado muitas vezes em muitos campos da ciência, e requer saber um pouco sobre cálculo, especificamente, como encontrar uma derivada.,
planos tangentes e aproximações Lineares
intuitivamente, parece claro que, em um plano, apenas uma linha pode ser tangente a uma curva em um ponto. No entanto, no espaço tridimensional, muitas linhas podem ser tangentes a um dado ponto. Se estas linhas estiverem no mesmo plano, determinam o plano tangente nesse ponto. Uma maneira mais intuitiva de pensar em um plano tangente é assumir que a superfície é lisa nesse ponto (sem cantos). Em seguida, uma linha tangente à superfície nesse ponto em qualquer direção não tem nenhuma mudança abrupta na inclinação porque a direção muda suavemente., Portanto, em uma vizinhança pequena o suficiente em torno do ponto, um plano tangente toca a superfície apenas nesse ponto.
linhas tangentes e linearização
vamos rever um fato básico sobre derivados. O valor da derivada em um ponto específico, x = a, mede a inclinação da curva, y = f(x), nesse ponto. Por outras palavras, f ‘(a) = inclinação da linha tangente em A.,
Agora, a reta tangente é especial, pois é uma linha que coincide com a direção da curva, mais de perto, específica para cada valor de x que você está interessado. Observe quão próximos os valores y da função e da linha tangente são quando x está perto do ponto onde a linha tangente Encontra a curva.,
assim, se a curva y = f(x) for demasiado complicada de trabalhar, e se estiver apenas interessado em valores da função perto de um ponto específico, então poderá deitar fora a função e usar apenas a linha tangente. Bem, não deites fora a função. . . podemos precisar dele mais tarde!
fórmula para linearização
então, como você acha a linearização de uma função f em um ponto x = a?, Lembre-se que a equação de uma linha pode ser determinada se você souber duas coisas:
- o declive da linha, m
- qualquer ponto que a linha atravessa, (a, b).
ligamos estas peças de informação na forma de ponto-declive, e isto dá-nos a equação da linha. (Isto é apenas álgebra, pessoal; nenhum cálculo ainda.)
y-b = m (x–A)
mas, em problemas como estes, você não será dado valores para B ou M. em vez disso, você tem que encontrá-los você mesmo. , Em primeiro lugar, m = f ‘(A), porque a derivada mede o declive, e em segundo lugar, b = f(A), porque a função original mede y-valores.
Local de Aproximação Linear de Fórmula
de aproximação Linear é o processo de encontrar a equação de uma reta que é o mais próximo da estimativa de uma função para um dado valor de x. Aproximação Linear é também conhecido como tangente da linha de aproximação, e é utilizado para simplificar as fórmulas associadas com funções trigonométricas, especialmente na ótica., Em uma observação infinitesimalmente próxima, uma curva começa a se assemelhar a uma linha reta, então a aproximação linear pode imitar muito de perto a função. For a twice differentiable, real-valued function f (x), 
, where R2 is the remainder term. A aproximação linear, então, é dada por 
. Esta aproximação é equivalente à equação para a linha tangente em A.,
Aplicativos De Aproximações Lineares
Óptica
Gaussian óptica é uma técnica em óptica geométrica que descreve o comportamento dos raios de luz em sistemas ópticos utilizando a aproximação paraxial, em que apenas os raios que fazer pequenos ângulos com o eixo óptico do sistema são considerados. Nesta aproximação, funções trigonométricas podem ser expressas como funções lineares dos ângulos. A óptica gaussiana aplica-se a sistemas em que todas as superfícies ópticas são planas ou são porções de uma esfera., Neste caso, fórmulas explícitas simples podem ser dadas para parâmetros de um sistema de imagem como distância focal, ampliação e brilho, em termos de formas geométricas e propriedades do material dos elementos constituintes.
período de oscilação
o período de oscilação de um pêndulo de gravidade simples depende do seu comprimento, da força local da gravidade e, em pequena medida, do ângulo máximo que o pêndulo afasta da vertical, θ0, chamado de amplitude. É independente da massa do bob., O verdadeiro período T de um pêndulo simples, o tempo necessário para um ciclo completo de um pêndulo de gravidade simples ideal, pode ser escrito em várias formas diferentes.