Ramanujan: Dream of the possible

“Ik heb niet door de conventionele reguliere cursus die wordt gevolgd in een universitaire cursus, maar ik ben het slaan van een nieuwe weg voor mezelf. “

Srinivasa Ramanujan (1887 – 1920).dit is wat Srinivasa Ramanujan schreef in een brief waarin hij zichzelf voorstelde aan de beroemde en gewaardeerde Britse wiskundige G. H. Hardy, in januari 1913., Ramanujan was een autodidact wiskundige die als klerk in een postkantoor in India werken toen hij aan Hardy bij de Universiteit van Cambridge schreef. Wat er daarna gebeurde werd een inspirerend verhaal over hoe een ongetraind Genie kon worden geaccepteerd als een van de grootste wiskundige geesten van zijn tijd. Hardy nodigde Ramanujan aan Cambridge uit, en op 17 maart, 1914 stelde Ramanujan zeil voor Engeland om één van de meest fascinerende samenwerkingen in de geschiedenis van wiskunde te beginnen.,”Ramanujan is een rolmodel voor het mogelijke,” zegt Ken Ono, de Asa Griggs Candler Professor in wiskunde en informatica aan de Emory University en ook een adviseur en associate producer op de recente film over Ramanujan, de man die oneindigheid kende. “dat je uit onmogelijk moeilijke omstandigheden of omstandigheden kunt komen en belangrijk kunt worden. Maar hij had hulp nodig, hij had Hardy nodig. En Hardy was niet de perfecte mentor, hij was een curmudgeon, hij hield niet van mensen. Maar door zijn hulp gebeurde dit allemaal.,toen Ramanujan in Engeland aankwam, werkte hij samen met Hardy aan een reeks wiskundige onderwerpen. Hij kwam met weinig formele training en had zijn eigen manier van wiskunde schrijven bedacht die andere wiskundigen nog nooit eerder hadden gezien.

the certificate of Ramanujan ‘ s nomination to become a Fellow of the Royal Society. Klik hier om een grotere afbeelding te zien.

“Ramanujan gebruikte niet de notatie die iedereen in de wereld gebruikte,” zegt Ono. “Toen hij hier in Engeland aankwam, wist hij niets van de moderne wiskunde., Hij maakte de hele tijd fouten.”Ramanujan leerde snel heel wat formele wiskunde in Cambridge en ging van een amateur aan het schrijven van de wiskundedocumenten van de wereldklasse. “Al snel, binnen een jaar of twee, werd hij formeel opgeleid. Hij was erg slim, zodat hij snel kon inhalen. De papieren die hij hier schreef , volgens elke professionele standaard, waren van wereldklasse. Dus dat is ook een bewijs van hoe begaafd hij was.,”

een van deze papers, geschreven met Hardy, verbaasde de wiskundige gemeenschap omdat het een manier gaf om betrouwbaar getallen te berekenen die wiskundigen eeuwenlang hadden ontweken – partitienummers. Dit artikel was een van die geciteerd in zijn nominatie om te worden verkozen als Fellow van de Royals Society, een hoge eer voor elke wetenschapper. Zijn nominatie werd getekend door enkele van de grote wiskundigen van die tijd, waaronder J. E. Littlewood, Alfred Whitehead, samen met Hardy en vele anderen., Ramanujan werd verkozen een Fellow van de Koninklijke Maatschappij op 2 mei 1918 op de leeftijd van enkel 30, één van de jongste ooit gekozen fellows. Wij spraken aan Ono over de opmerkelijke wiskundige bijdragen van Ramanujan bij de viering van dit eeuwfeest bij de Koninklijke Maatschappij, die hij hielp te organiseren (U kunt hier aan een podcast van het interview luisteren).

Partitienummers

het concept van partitienummers is vrij eenvoudig. U kunt elk natuurlijk getal schrijven als een som van natuurlijke getallen., id=”19b89d332a”>

De partitie nummer van een aantal dat is precies het aantal manieren waarop dit kan worden geschreven als een som van de natuurlijke getallen (zonder je zorgen te maken over de volgorde waarin ze zijn toegevoegd)., Zoals we zojuist hebben gezien, en .

het opschrijven en tellen van het aantal manieren waarop u een getal kunt schrijven als een som lijkt eenvoudig, maar in feite loopt het snel uit de hand omdat groot wordt. U kunt waarschijnlijk zelf uitzoeken dat en , maar ga verder dan dit en u zult snel opraken van papier. De tabel hieronder toont de partitienummers tot die al verrassend groot is.,>4

Looking at the graph of for up to suggests the partition number grows exponentially with .,

Partitienummers voor n van 1 tot 1o 10.

dit feit leidde ertoe dat wiskundigen vroegen of er een manier was om te berekenen zonder expliciet elke schrijfwijze als som op te schrijven. Bij het bestuderen van deze vraag werkten Hardy en Ramanujan met de indrukwekkende “menselijke calculator” Percy MacMahon die tabellen van verdelingsaantallen voor een groot aantal aantallen berekende., Hoewel die lijsten zonder rijm of reden op het eerste gezicht verschijnen, merkte Ramanujan intrigerende patronen in hen op. Hij ontdekte, en bewees later, dat het partitienummer voor , , , …, of voor elk nummer van de vorm is altijd deelbaar door evenzo is het partitienummer voor elk nummer van de vorm deelbaar door , en voor elk nummer van de vorm is deelbaar door . Deze patronen zijn nu beroemd als congruences van Ramanujan.wat Ramanujan de Royal Society Fellowship opleverde was de asymptotische formule voor het partitienummer dat hij samen met Hardy vond., De formule geeft niet de exacte waarde van , maar het komt heel dichtbij. En als groter wordt, wordt het verschil tussen en de asymptotische formule willekeurig klein.,

De formule is

Hardy en Ramanujan gecontroleerd of de waardegegeven door de rechter-kant van hun formule tegen de waarden vanzoals berekend door hun vriend MacMahon:

Zoals u kunt zien, de formule is wat we beloofd hebben. “Het geldt voor alle ., Je kunt gewoon inpluggen voor en je krijgt in principe het antwoord terug, ” zegt Ono. “Iemand moet behoorlijk slim zijn om een kortere weg te vinden zodat je nooit hoefde te tellen.”

“werd destijds beschouwd als een ondoordringbaar probleem. Ik ben er vrij zeker van dat die formule alleen al het grootste deel van de vermelding voor zijn verkiezing vormde,” zegt Ono. “Maar vergis je niet dat formule is nu een zeer klein deel van Wat is uitgegroeid tot erfenis.”

Ken Ono.,

en de erfenis is inderdaad indrukwekkend: Ramanujan ‘ s werk is vandaag relevant op gebieden zo divers als informatica, elektrotechniek en natuurkunde, evenals, natuurlijk, wiskunde. “De formules van Ramanujan hebben glimpen van theorieën aangeboden die Ramanujan waarschijnlijk niet in staat zou zijn geweest om zichzelf te verwoorden,” zegt Ono. “Theorieën die niemand nodig had-totdat ze ze nodig hadden. Maakt bijvoorbeeld gebruik van sommige wiskunde van Ramanujan. Niemand wist zelfs dat zwarte gaten iets waren om te bestuderen toen Ramanujan leefde., Maar hij had al enkele van de eerste formules ontwikkeld die zouden worden gebruikt om hun eigenschappen te verklaren. Wat verbazingwekkend is, is dat Ramanujan dit tientallen keren voor ons heeft gedaan.”

” waar komt dit Genie vandaan? Ik gebruik het woord genie niet gemakkelijk, maar vergis je niet — als je formules opschrijft die je mooi en belangrijk vindt om een of andere reden, en niemand weet waarom die formules belangrijk zijn tot decennia later, dan is dat iets heel spiritueels.,”

Ono is ook hoofd van het Spirit of Ramanujan-programma dat opkomende ingenieurs, wiskundigen en wetenschappers ondersteunt, in het bijzonder degenen die, zoals Ramanujan, geen traditionele institutionele ondersteuning hebben. Meer over het programma vind je hier.

over dit artikel

Rachel Thomas is redacteur van Plus. Zij interviewde Ken Ono bij de viering van de Koninklijke Maatschappij van eeuwfeest van de verkiezing van Ramanujan als medestander van de Koninklijke Maatschappij. U kunt luisteren naar een podcast van het interview hier.