Poisson-Distributieformule

Poisson-distributie is eigenlijk een belangrijk type kansverdelingsformule. Zoals in de binomiale verdeling, zullen we niet weten het aantal proeven, of de kans op succes op een bepaald spoor. Het gemiddelde aantal successen zal worden gegeven voor een bepaald tijdsinterval. Het gemiddelde aantal successen wordt “Lambda” genoemd en aangeduid door het symbool \(\lambda\). In dit artikel bespreken we de poisson-distributieformule met voorbeelden. Laten we beginnen met leren!,

Poisson Distributieformule

Concept van Poisson distributie

De Franse wiskundige Siméon-Denis Poisson ontwikkelde deze functie in 1830. Dit wordt gebruikt om het aantal keren te beschrijven dat een gokker een zelden gewonnen kansspel kan winnen uit een groot aantal pogingen.

De willekeurige variabele Poisson volgt de volgende voorwaarden:

1. het aantal successen in twee disjuncte tijdsintervallen is onafhankelijk.,
2. de kans op succes gedurende een bepaald klein tijdsinterval is evenredig met de volledige lengte van het tijdsinterval.

naast de disjuncte tijdsintervallen is de willekeurige variabele Poisson ook van toepassing op disjuncte ruimtegebieden.

sommige toepassingen van poissondistributie zijn als volgt:

• het aantal doden door schoppen met paarden in het Pruisische leger.
• geboorteafwijkingen en genetische mutaties.
• zeldzame ziekten zoals leukemie, omdat het zeer besmettelijk is en dus niet onafhankelijk is, voornamelijk in rechtszaken.
• voorspelling van auto-ongevallen op wegen.,
• verkeersstroom en de ideale spleetafstand tussen voertuigen.
• het aantal typefouten gevonden op een pagina in een boek.
• haren gevonden in McDonald ‘ s hamburgers.de verspreiding van een bedreigd dier in Afrika.
• storing van een machine in een maand.

formule voor Poissondistributie

de kansverdeling van een willekeurige poissonvariabele laten we aannemen X. Het vertegenwoordigt het aantal successen in een bepaald tijdsinterval wordt gegeven door de formule:

\(\displaystyle{ P } {\left ({X }\right )}=\frac{{{ e }^{-\mu}\mu^{ x }}}{{{ x }!,}} \)

waarbij

\(\displaystyle{x}={0},{1},{2},{3},…\)

\(\displaystyle{e} = {2.71828}\)

\(\mu\)= gemiddeld aantal successen in het gegeven tijdsinterval of gebied van de ruimte.

gemiddelde en variantie van de poissondistributie:

als \(\mu\) het gemiddelde aantal successen is dat in een bepaald tijdsinterval of gebied in de poissondistributie optreedt. Dan zijn het gemiddelde en de variantie van de poissonverdeling beide gelijk aan \(\mu\).,

dus

E(X) = \(\mu\)

en

V(X) = \(\sigma^2 = \mu\)

onthoud dat in een Poissondistributie slechts één parameter, \(\mu\) nodig is om de waarschijnlijkheid van een bepaalde gebeurtenis te bepalen.

enkele opgeloste voorbeelden voor u

Voorbeeld-1: sommige voertuigen passeren een kruispunt op een drukke weg met een gemiddelde snelheid van 300 per uur.

1. ontdek de kans dat er geen in een bepaalde minuut voorbij gaat.
2. Wat is het verwachte aantal passages in twee minuten?,
3. vind de kans dat dit hierboven gevonden verwachte aantal daadwerkelijk doorkomt in een bepaalde periode van twee minuten.

oplossing: eerst zullen we berekenen,

Het gemiddelde aantal auto ‘ s per minuut is:

\(\displaystyle \ mu = \ frac{300}{{60}}\)

\(\displaystyle \ mu\) = 5

(a)de formule toepassen:

\(\displaystyle{P} {\left ({X }\right )}=\frac{{{ e }^{-\mu }\mu^{x}}}{{{x}!}} \)

\(\displaystyle{ P }{\left({ x }_{{ 0 }}\right)}=\frac{{{e}^{ -{{5}}}{5}^{0}}}{{{0}!}}={ 6.,7379 } \ times{10}^{ -{{3}}} \)

(b) verwacht Aantal elke 2 minuten = E(X) = 5 × 2 = 10

(c) nu, met \(\mu\) = 10, hebben we:

\(\displaystyle{ P }{\left ({x }_{{ 10 }} \ right)}=\frac{{{e}^{ -{{10}}}{10}^{10}}}{{{10}!}} = { 0.12511 }\)