in de wiskunde is een lineaire benaderingsformule een benadering van een algemene functie met behulp van een lineaire functie (meer bepaald een affiene functie). Ze worden veel gebruikt in de methode van eindige verschillen om methoden van de eerste orde te produceren voor het oplossen of benaderen van oplossingen voor vergelijkingen.
deze benadering is cruciaal voor veel bekende numerieke technieken zoals Euler ‘ s methode om oplossingen voor gewone differentiaalvergelijkingen te benaderen., Het idee om lineaire benaderingen te gebruiken ligt in de nabijheid van de raaklijn aan de grafiek van de functie rond een punt.
formule
Deze les laat zien hoe een linearisatie van een functie te vinden en hoe deze te gebruiken om een lineaire benadering te maken. Deze methode wordt vaak gebruikt in vele gebieden van de wetenschap, en het vereist weten een beetje over calculus, in het bijzonder, hoe je een afgeleide te vinden.,
raakvlakken en lineaire benaderingen
intuïtief lijkt het duidelijk dat in een vlak slechts één lijn raakvlakken kan zijn aan een kromme op een punt. In de driedimensionale ruimte kunnen veel lijnen echter aan een bepaald punt raken. Als deze lijnen in hetzelfde vlak liggen, bepalen ze het raakvlak op dat punt. Een meer intuïtieve manier om te denken van een raakvlak is om aan te nemen dat het oppervlak glad is op dat punt (geen hoeken). Dan, een raaklijn aan het oppervlak op dat punt in elke richting heeft geen abrupte veranderingen in helling omdat de richting verandert soepel., Daarom, in een klein genoeg buurt rond het punt, raakt een raakvlak het oppervlak alleen op dat punt.
raaklijnen en linearisatie
laten we een basisfeit over afgeleiden bekijken. De waarde van de afgeleide op een specifiek punt, x = a, meet de helling van de curve, y = f(x), op dat punt. Met andere woorden, f ‘(a) = helling van de raaklijn op a.,
nu is de raaklijn speciaal omdat het de enige lijn is die het meest overeenkomt met de richting van de curve, op de specifieke x-waarde waarin u geïnteresseerd bent. Merk op hoe dicht de y-waarden van de functie en de raaklijn zijn wanneer x dichtbij het punt is waar de raaklijn de kromme ontmoet.,
dus, als de curve y = f(x) veel te ingewikkeld is om mee te werken, en als je alleen geïnteresseerd bent in waarden van de functie in de buurt van een bepaald punt, dan kun je de functie weggooien en gewoon de raaklijn gebruiken. Gooi de functie niet weg. . . we kunnen het later nodig hebben!
formule voor linearisatie
dus, hoe vind je de linearisatie van een functie f op een punt x = a?, Onthoud dat de vergelijking van een lijn kan worden bepaald als je twee dingen Weet:
- De Helling van de lijn, m
- elk enkel punt waar de lijn doorheen gaat, (a, b).
We stoppen deze stukjes info in de punt-helling vorm, en dit geeft ons de vergelijking van de lijn. (Dit is gewoon algebra, mensen; nog geen calculus.)
y-b = m (x–a)
maar in dit soort problemen krijgt u geen waarden voor b of m. in plaats daarvan moet u ze zelf vinden., Ten eerste m = f ‘(a), omdat de afgeleide de helling meet, en ten tweede b = f(a), omdat de oorspronkelijke functie y-waarden meet.
lokale Lineaire Benaderingsformule
lineaire benadering is het proces van het vinden van de vergelijking van een lijn die de nauwste schatting is van een functie voor een bepaalde waarde van x. lineaire benadering is ook bekend als raaklijnbenadering, en wordt gebruikt om de formules geassocieerd met trigonometrische functies te vereenvoudigen, vooral in optica., Bij infinitesimaal nauwkeurige observatie begint een kromme op een rechte lijn te lijken, zodat de lineaire benadering de functie zeer nauw kan nabootsen. Voor een tweemaal differentieerbare, real-valued functie f(x), 
, waarbij R2 de restterm is. De lineaire benadering wordt dan gegeven door 
. Deze benadering is gelijk aan de vergelijking voor de raaklijn bij a.,
toepassingen van lineaire benaderingen
optica
Gaussiaanse optica is een techniek in de geometrische optica die het gedrag van lichtstralen in optische systemen beschrijft door gebruik te maken van de paraxiale benadering, waarbij alleen stralen worden beschouwd die kleine hoeken maken met de optische as van het systeem. In deze benadering kunnen trigonometrische functies worden uitgedrukt als lineaire functies van de hoeken. De Gaussiaanse optiek is van toepassing op systemen waarbij alle optische oppervlakken vlak zijn of delen van een bol zijn., In dit geval kunnen eenvoudige expliciete formules worden gegeven voor parameters van een beeldvormingssysteem, zoals brandpuntsafstand, vergroting en helderheid, in termen van de geometrische vormen en materiaaleigenschappen van de samenstellende elementen.
schommelperiode
De schommelperiode van een enkelvoudige zwaartekrachtslinger hangt af van de lengte ervan, de lokale zwaartekrachtsterkte, en in geringe mate van de maximale hoek die de slinger van verticaal wegdraait, θ0, de amplitude genoemd. Het is onafhankelijk van de massa van de bob., De werkelijke periode T van een eenvoudige slinger, de tijd die nodig is voor een volledige cyclus van een ideale eenvoudige zwaartekrachtslinger, kan in verschillende vormen worden geschreven.