sinds de jaren zeventig bestaat het option pricing model, ontwikkeld door Robert Merton, Myron Scholes en Fischer Black, en wordt in de praktijk nog steeds gebruikt om de waarde van opties te berekenen. Sindsdien heeft het model herhaaldelijk veranderingen ondergaan, maar is min of meer hetzelfde gebleven in zijn basisontwerp., Het model van de drie wetenschappers bleek zelfs zo succesvol dat Merton en Scholes in 1997 de Nobelprijs voor de economie kregen. Black was in 1995 overleden. Hoewel het model correct het Black-Scholes-Merton-model wordt genoemd, wordt Merton in de praktijk niet meer genoemd en voor de eenvoud verwijzen bijna alle studieboeken, beoefenaars en academici tegenwoordig naar het model als het Black-Scholes-model.
Het Black Scholes model lijkt in principe erg op het binomiale tree model dat we al kennen., Hier zijn de tijdsperioden echter verdeeld in een bijna oneindig aantal deelperiodes. De secties zijn zo klein dat ze in elkaar opgaan. Dus een tijd-continu systeem (Engl. continu-time model). Het Black Scholes-model is het tijddoorlopende model van het binomiale model.
basisaannames in het Black-Scholes-model
• De optie is Europese stijl.
• Er zijn geen dividenden of andere kasstromen gedurende de looptijd.
• Er zijn geen transactiekosten.,
• normale verdeling: het rendement op beleenbare activa wordt normaal verdeeld.
• de risicovrije rentevoet is bekend en is constant gedurende de looptijd van de optie.
• de volatiliteit (fluctuatiemarge van de prijs) van de onderliggende waarde is bekend en is constant gedurende de looptijd van de optie.
Excursus bij constante rente (Engl. continu compounding), de logaritme en de natuurlijke logaritme
veronderstel dat een effect vandaag 10 euro waard is. Na een jaar is de waarde van de zekerheid gestegen tot 11 euro, dus met 10%., Als deze waardestijging, dat wil zeggen deze opbrengst, echter continu wordt vergoed, wordt deze opbrengst berekend met behulp van de natuurlijke logaritme. Deze natuurlijke logaritme wordt ln genoemd in de wiskunde. In ons voorbeeld zou de opbrengst ln (1,10) = 0,0953 zijn, wat overeenkomt met 9,53%. Als deze continu rentedragende opbrengsten normaal worden verdeeld, spreken we van lognormaal verdeelde opbrengsten. Het Black-Scholes model werkt met deze lognormale distributies!,>
de waarde van de Call Optie is: \ c=S_{0}*N(d_{1})-Ke^{-r^{c}T}N(d_{2}) \)
de waarde van de Put Optie: \( p=Ke^{-r^{c}T}\left-S_{0}\left \)
waar \( d_{1}=\frac{ln(S_{0}/K)+\leftT}{\sigma\sqrt{T}} \)
en \( d_{2}=d_{1}-\sigma\sqrt{T} \)
\( S_{0} \) is de prijs Gebaseerd op de tijd \( T_{0} \)
c is de prijs van de Oproep
p is de prijs van de Zet
X is de Uitoefenprijs van de Optie
\( v^{c} \) is de op een continue Basis, rentetarieven, risico-vrije rente
T is de periode tot de vervaldatum van de Optie, vermeld in de Delen van een jaar (bijvoorbeeld,,B. 1 maand = 1/12, 1 dag = 1/365, ect.)
σ (“Sigma”) is de volatiliteit, d.w.z. de jaarlijkse standaarddeviatie van de rendementen van de onderliggende waarde
\( σ^{2} \) is de variantie van de inkomensbasis waarde
ln de natuurlijke logaritme
e is de Euler (e is het grondtal van de natuurlijke logaritme en is een oneindig aantal afgeronde ze is 2,71828)
N(d) is de oppervlakte onder de normale verdeling curve. De waarde van N (d) is te vinden in standaard distributietabellen., De tabel kan worden gevonden in elk handboek voor statistieken, in elke optie software of op Wikipedia onder “Table Standard Normal Distribution”.
aangezien de formule zelf te zien is, hebben we de volgende variabelen nodig voor de berekening van optieprijzen:
• de prijs van het onderliggende actief
• de uitoefenprijs
• De tijd tot uitoefening van onze optie
• de risicovrije rentevoet
• de volatiliteit (standaardafwijking) de basiswaarde
Deze worden afgekort met de zogenaamde “Grieken”.,
informatiebronnen voor de variabelen
maar waar krijgen we de waarden voor de individuele variabelen? De makkelijkste manier is om directe toegang te hebben tot een informatiesysteem zoals Reuters of Bloomberg. Aangezien deze systemen echter extreem duur zijn, geldt dit niet voor iedereen.
een andere, meestal publiek toegankelijke bron zijn Effecten-en futuresbeurzen. De meeste uitwisselingen publiceren vertraagde gegevens op hun websites. Aan de andere kant, ze verkopen real-time gegevens zelf aan Reuters, Bloomberg en Co., Voor een zuivere exercitie, een geschatte waardering en een daaropvolgende prijscontrole, tijd-vertraagde gegevens zijn voldoende (meestal is het 15 minuten, maar sommige uitwisselingen geven hun gegevens slechts een dag vertraagde prijs). Echter, time-delayed data is niet langer ideaal voor de handel op grotere schaal.
Op de beurs vindt u altijd de koers van de onderliggende waarde, die u absoluut nodig heeft als belangrijke variabele.
als opties al worden verhandeld op futuresbeurzen op uw onderliggende waarde, kunt u de impliciete volatiliteit van de opties daar zien., Gebruik dan deze volatiliteit omdat het aangeeft hoe professionele market makers van grote investeringsbanken het fluctuatiebereik zien in de prijs van de onderliggende waarde voor precies deze optie. Impliciet, deze volatiliteit wordt genoemd omdat het niet direct kan worden gelezen overal, maar is alleen “herberekend” van verhandelde opties.
de impliciete volatiliteit – evenals de historische volatiliteit van de onderliggende waarde-verandert voortdurend. Elke keer dat u uw prijs bijwerkt, moet u ook de volatiliteit aanpassen.,
als er geen opties worden verhandeld op uw onderliggende waarde op de financiële markt, moet u zelf aannames maken voor volatiliteit. U kunt de historische volatiliteit in de onderliggende waarde als uitgangspunt nemen, die u zelf kunt berekenen aan de hand van tijdreeksen van de koersgegevens of, als u geluk hebt, al voor u door de beurs is berekend. Maar zorg ervoor dat u een redelijke periode te kiezen! Daarna moet u nog aanpassingen maken die uw verwachtingen voor de toekomst weerspiegelen (dat wil zeggen de termijn van uw optie)., Dat klinkt makkelijker dan het eigenlijk is, want niemand kent de toekomst, en je zult je daarom voortdurend moeten aanpassen.