– Kontroll er enklere enn å finne?
Finne en løsning på et problem skulle være vanskeligere enn å sjekke at en løsning er riktig. Det synes åpenbart hvis du noensinne har løst en sudoku puslespill, eller løst en rubiks kube, eller spilte et spill av sjakk. Men den uttalelsen, men intuitivt ser, fører oss direkte til en av de dypeste matematiske spørsmål som stilles av vår sivilisasjon.
Ikke-deterministisk polynomisk tid (eller NP) problemer er de hvor kan du enkelt kontrollere et svar til å være korrekt., I kontrast, polynomisk tid (eller P) problemer er de
hvor å finne svaret er enkelt. Hvis du kan finne svaret, da har du sjekket det å være riktig, så hvert eneste problem i S er også i NP. Vi sier at S er en underklassen av NP. Men vi vet ikke om det er noen spesielle problemer i NP som ikke er i P, og det er hva vi kaller P vs NP problem.
P vs NP-problemet er en av de mest sentrale uløste problemer i matematikk og teoretisk informatikk. Det er enda en Leire Millennium Premie, og tilbyr en million dollar for sin løsning., Det er imidlertid sannsynlig mye enklere måter å bli en millionær enn å løse P vs NP!
Det var en buzz nylig når noen forsøker å løse det på arXiv, selv om det er et gap i proof ble raskt funnet. Gitt de siste interesse i problemet og dens sentrale plass i matematikk, jeg diskutere det i denne ukens blogg.
Sudoku
Hvis du er gitt et fylt Sudoku puslespill i en avis, du kan kaste det i kassen. Men om du ønsker, kan du skanne gjennom rader, kolonner og 3 x 3 celler for å fortelle at det er en gyldig løsning: hver på 1, 2, … , 9 må skje nøyaktig én gang., Det er analogt til NP, som det er relativt lett å kontrollere om en løsning er riktig.
Men hvis jeg gi deg en delvis fylt Sudoku puslespill, det kan være vanskelig å finne løsningen. Det er gleden og utfordringen med denne type oppgave. Så å være i NP ikke umiddelbart ser ut til å innebære problemet har en lett å finne en løsning. Intuisjon er i hjertet av P vs NP problem.
Presis formulering
for Å forstå P og NP mer presist, vi trenger å forstå bedre algoritmer og måle hastighet. Problemer dukker opp med noen faste input-og output-enten JA eller NEI. Innspill er gitt lengde, si n, hvor n er et positivt heltall. Dette representerer antall biter som det tar å uttrykke inngang. En algoritme er en metode eller prosedyre for å løse et problem. Algoritmer gi instruksjoner på hvert trinn i en beregning, og må opphøre., Trinnene kan være sekunder, millisekunder, eller noen andre faste tidsintervall som er avhengig av ditt problem.
kompleksiteten av et problem er minimum verste fall kjører over alle mulige algoritmer for å løse problemet som en funksjon av lengden av input. Med andre ord, det er et mål for hvor lang tid det tar å løse problemet med den raskeste algoritmen, men med de verste fall inngang.
Et problem er løsbar i polynomisk tid, hvis det gitt et innspill av lengde n, sin kompleksitet er avgrenset over av polynomisk funksjon nm for noen ikke-negative heltall m., Sett av alle problemer lar seg i polynomisk tid er merket med S.
Blir i S betyr ikke nødvendigvis at problemet er gjennomførbart. For eksempel, hvis det tar n1000 fremgangsmåten for å kjøre algoritmen, så vil det være håpløst treg selv for små n. Ikke-deterministisk polynom (eller NP) problemer er de hvor kan du sjekke om JA-svar er korrekte i polynomisk tid.
NP-hardhet
Et problem er NP–hard hvis en polynom-tid algoritme for det ville innebære en polynom-tid algoritme for alle problemer i NP. Derfor, hvis en NP-harde problem var i P, deretter P = NP., De NP-hard problemer er minst like vanskelig som alle problemer i NP. Et NP–komplett problem er at en som er NP-harde og NP.
En klassisk NP-komplett problem er å finne en Hamilton-syklus. For dette, anta at vi har et nettverk av byer er koblet sammen av veier. Problemet er å besøke hver by ved hjelp av veier (ikke fly tillatt!) og kommer tilbake til start. Dette virker lett for et lite antall byer, men hvis du skulle gitt hundrevis av dem, så det blir vanskelig., Tusenvis av andre slike NP-komplette problemer er kjent fremkommer i grafen teori, tallteori, geometri, og andre områder av matematikk og informatikk.
Hva er svaret, egentlig?
Hvis jeg var å satse, så jeg vil anta at P ikke er lik NP, og jeg tror de fleste ekspertene er enige. Vi ville ha til å være fryktelig dum for ikke å se hvordan alle de tusenvis av NP-komplette problemer ikke har en polynomisk tid-algoritme. Men som en art, dumme er vår standard posisjon, slik at ingen kan si hva svaret er med 100% sikkerhet.,
Hva er interessant om P vs NP-problemet er at den peker til hvor begrenset vår forståelse er i å bevise at enkelte problemer ikke har raske løsninger. Dette er en del av et større tema innen beregningsorientert kompleksitet teori, som studier dusinvis av andre kompleksitet klasser. Sjekk ut kompleksiteten zoo for en liste av disse klassene. For det meste, det er åpent for å vise ulike (ofte eksotisk klingende) kompleksitet klasser er riktig underklasser av hverandre. For eksempel, det er ukjent om NL er en skikkelig underklassen av P, og vi vet ikke om FPT er en skikkelig underklassen av W.,
Uavhengig av dens sannferdighet, P vs NP problemet er sannsynlig å forbli åpne for noen tid. Med mindre det er bevist at P = NP, Sudoku-fortsatt trygt.
Anthony Bonato