I matematikk, en lineær tilnærming formelen er en tilnærming av en generell funksjon ved bruk av en lineær funksjon (mer presist, en affine funksjon). De er mye brukt i metode for endelige forskjeller å produsere første ordens metoder for å løse eller tilnærmet løsninger av likningene.
Denne tilnærming er avgjørende for mange kjent numeriske teknikker som Euler-Metoden til å anslå løsninger for ordinære differensialligninger., Ideen om å bruke lineær tilnærming hviler i nærheten av tangentlinjen til grafen til funksjonen rundt et punkt.
Formel
Denne leksjonen viser hvordan du finner en linearisering av en funksjon, og hvordan du kan bruke det til å lage en lineær tilnærming. Denne metoden er brukt ganske ofte i mange områder av vitenskapen, og det krever at man vet litt om matematisk analyse, og mer spesifikt, hvordan å finne et derivat.,
Tangent Fly Og Lineær Tilnærming
Intuitivt, det synes klart at i et fly, bare en linje kan være tangent til en kurve i et punkt. Imidlertid, i tre-dimensjonale rommet, mange linjer kan være tangent til et gitt punkt. Hvis disse linjene ligger i samme plan, de bestemmer tangent flyet på det tidspunktet. En mer intuitiv måte å tenke på en tangent plan er å anta overflaten er glatt på dette punktet (ingen hjørner). Så, en tangentlinje til overflaten på det punktet i hvilken som helst retning ikke har noen brå endringer i skråningen fordi retningen endres jevnt., Derfor, i en liten nok nabolaget rundt punktet, en tangent flyet berører overflaten på det tidspunktet bare.
Tangent Linjer Og Linearisering
La oss se på et grunnleggende faktum om derivater. Verdien av derivatet på et bestemt punkt, x = a, tiltak helningen på kurven y = f(x), på det punktet. Med andre ord, f ‘(a) = stigningstallet til tangenten linje på en.,
Nå, tangentlinjen er spesiell fordi det er en linje som tilsvarer retning av kurven mest mulig på bestemt x-verdi du er interessert i. Legg merke til hvor nær y-verdiene for funksjonen og tangentlinjen er når x er nær det punktet der tangentlinjen møter kurven.,
Så, hvis kurven y = f(x) er altfor komplisert å jobbe med, og hvis du bare er interessert i verdiene for funksjonen i nærheten av et bestemt punkt, så kan du kaste bort funksjon og bare bruke tangentlinje. Vel, egentlig ikke kaste bort funksjon. . . vi kan trenge det senere!
Formel For Rettingen
Så, hvordan finner du det linearisering av en funksjon f i et punkt x = a?, Husk at ligningen for en linje kan bestemmes hvis du vet to ting:
- skråningen av linjen, m
- et enkelt punkt at linjen går gjennom, (a, b).
Vi koble disse biter av info i punkt-skråningen form, og dette gir oss ligningen for linjen. (Dette er bare algebra, folkens; ingen kalkulus ennå.)
y – b) = m(x–a)
Men, i problemer som disse, vil du ikke bli gitt verdier for b eller m. I stedet, du må finne dem selv., For det første m = f ‘(a), fordi den deriverte tiltak skråningen, og for det andre, b = f(a), fordi den opprinnelige funksjonen tiltak for y-verdier.
Lokale Lineær Tilnærming Formel
Lineær tilnærming er prosessen med å finne ligningen for en linje som er den nærmeste estimat av en funksjon, for en gitt verdi av x. Lineær tilnærming er også kjent som tangentlinjen tilnærming, og det er brukes til å forenkle formlene forbundet med trigonometriske funksjoner, spesielt i optikk., På infinitesimally tett observasjon, en kurve som begynner å ligne en rett linje, så lineær tilnærming kan veldig tett imitere funksjon. For en to ganger differensiable, real-verdsatt funksjon f(x) 
, der R2 er resten sikt. Den lineære tilnærming, er da gitt ved 
. Denne tilnærming er tilsvarende likningen for tangenten linje på en.,
Anvendelser Av Lineær Tilnærming
Optikk
Gaussian optikk er en teknikk som i geometrisk optikk som beskriver oppførselen til lys stråler i optiske systemer ved hjelp av paraxial tilnærming, som bare stråler som gjør små vinkler med den optiske aksen av systemet er vurdert. I dette tilnærming, trigonometriske funksjoner kan uttrykkes som lineære funksjoner av vinkler. Gaussian optikk gjelder for systemer der alle de optiske overflatene er enten flat eller er deler av en sfære., I dette tilfellet, enkel eksplisitte formler kan bli gitt for parametre av en imaging system som brennvidde, forstørrelse og lysstyrke, i form av geometriske figurer og materialegenskaper av den konstituerende elementer.
Perioden av pendling
Den perioden av swing med en enkel tyngdekraften pendelen kommer an på lengde, den lokale styrken av tyngdekraften, og i liten grad på maksimal vinkel på at pendelen svinger vekk fra vertikal, θ0, kalt amplitude. Det er uavhengig av massen av bob., Den sanne periode T av en enkel pendel, den tiden det tar for en komplett syklus av en ideell enkel tyngdekraften pendel, kan være skrevet i flere forskjellige former.