En ingeniør venn av meg nylig overrasket meg ved å si at han var ikke sikker på om nummer 1 var førsteklasses eller ikke. Jeg ble overrasket fordi blant matematikere, 1 er universelt ansett som » non-prime.
forvirringen begynner med denne definisjonen er at en person kan gi av «prime»: et primtall er et positivt helt tall som bare er delelig med 1 og seg selv. Nummer 1 er delelig med 1, og det er delelig med seg selv. Men selv og 1 er ikke to forskjellige faktorer., 1 er primtall eller ikke? Når jeg skriver definisjonen av prime i en artikkel, jeg prøver å fjerne tvetydighet ved å si et primtall har nøyaktig to forskjellige faktorene 1 og seg selv, eller som et primtall er et helt tall større enn 1 som bare er delelig med 1 og seg selv. Men hvorfor gå til disse lengder for å utelukke 1?
Min matematiske trening lært meg at god grunn for 1 ikke anses prime er fundamental teorem av aritmetikk, som sier at hvert tall kan skrives som et produkt av primtall i nøyaktig én måte. Hvis 1 var førsteklasses, ville vi miste denne unike., Vi kan skrive 2 som 1×2, eller 1×1×2, eller 1594827×2. Unntatt fra 1 primtall jevner det ut.
Min opprinnelige plan om hvordan denne artikkelen ville gå, var at jeg ville forklare grunnleggende teorem av matematikk og bli ferdig med det. Men det er egentlig ikke så vanskelig å endre uttalelse av fundamental teorem om matematikk for å løse 1 problem, og tross alt, min venn, er spørsmålet pirret min nysgjerrighet: hvordan gjorde matematikere sammenfattet på denne definisjonen av prime?, En overfladisk blikk rundt noen Wikipedia-sider som er relatert til antall teori slås opp påstanden om at 1 pleide å bli betraktet som statsminister, men ikke lenger. Men en artikkel av Chris Caldwell og Yeng Xiong viser historien av konseptet er litt mer komplisert. Jeg verdsatt denne oppfatningen fra begynnelsen av sin artikkel: «Først, om du ikke har et nummer (spesielt enhet) er et primtall er et spørsmål om definisjon, så et spørsmål om valg, kontekst og tradisjon, ikke et spørsmål om bevis., Men definisjonene er ikke gjort tilfeldig, og disse valgene er bundet av vår bruk av matematikk, og særlig i dette tilfellet, av vår notasjon.»
Caldwell og Xiong starte med klassiske greske matematikere. De gjorde ikke vurdere 1 å være et nummer på samme måte som 2, 3, 4, og så videre er tall. 1 ble betraktet som en enhet, og en rekke ble består av flere enheter. For at grunnen, 1 kunne ikke ha vært prime — det var ikke engang et nummer. Niende århundre Arabiske matematikeren al-Kindī skrev at det ikke var et nummer, og derfor ikke er partall eller oddetall., Vis at 1 var byggestein for alle tall, men ikke et tall i seg selv varte i århundrer.
I 1585, Flamsk matematiker Simon Stevin påpekt at når du gjør aritmetiske i base 10, det er ingen forskjell mellom tallet 1 og alle andre sifre. For alle praktiske formål, 1 oppfører seg på samme måten som alle andre størrelsesorden gjør. Selv om det ikke var umiddelbar, denne observasjonen førte matematikere til å behandle 1 som et tall, akkurat som alle andre tall.
Gjennom slutten av det 19. århundre, noen imponerende matematikere anses 1 prime, og noen ikke., Så vidt jeg kan fortelle, det var ikke en sak som førte til strid; for de mest populære matematiske spørsmål, forskjellen var ikke veldig viktig. Caldwell og Xiong sitere G. H. Hardfør som den siste store matematiker for å vurdere 1 å være førsteklasses. (Han eksplisitt tatt det som en ypperlig i de første seks utgaver av Et Kurs i Matematikk, som ble publisert mellom 1908 og 1933. Han oppdatert definisjonen i 1938 for å gjøre 2 den minste prime.)
artikkelen nevner, men ikke fordype deg i noen av endringene i matematikk som bidro til å stivne definisjonen av prime, og med unntak av 1., Spesielt, en viktig endring var utviklingen av et sett med tall over de naturlige tallene som oppfører seg litt som heltall.
I de aller mest grunnleggende eksempel, kan vi spørre om tallet -2 er prime. Spørsmålet kan virke rotete, men det kan motivere oss til å sette ord på den unike rollen 1 i hele tall. De mest uvanlig aspekt av 1 i hele tall er at den har en multiplicative inverse det er også et heltall. (En multiplicative inverse av antall x er et tall som når multiplisert med x gir 1., Nummer 2 har en multiplicative inverse av den rasjonale eller reelle tall, 1/2: 1/2×2=1, 1/2 men er ikke et heltall.) Antall 1 skjer for å være sin egen multiplicative omvendt. Ingen andre positive heltall har en multiplicative inverse innenfor det sett av heltall.* Den egenskapen av å ha en multiplicative omvendte er kalt til å være en enhet. Antall -1 er også en enhet innen sett av heltall: igjen, det er sin egen multiplicative omvendt. Vi anser ikke enhetene til å bli enten prime eller kompositt fordi du kan multiplisere dem med visse andre enheter uten å endre mye., Vi kan da tenke over antall -2 som ikke er så forskjellige fra 2; fra synspunkt av multiplikasjon, -2 er bare 2 ganger en enhet. Hvis 2 er førsteklasses, -2 skal være så godt.
jeg omhu unngått å definere prime i forrige avsnitt på grunn av en uheldig faktum om definisjonen av prime når det kommer til disse større sett med tall: det er feil! Vel, det er ikke galt, men det er litt counterintuitive, og hvis jeg var dronningen av tallteori, ville jeg ikke ha valgt for begrepet har den definisjonen som det gjør., I den positive hele tall, hvert primtall p har to egenskaper:
antall p kan skrives som produktet av to hele tall, verken som en enhet.
Når et produkt m×n er delelig med p, deretter m eller n må være delelig med p. (For å sjekke ut hva denne egenskapen betyr at på et eksempel, tenk deg at m=10, n=6, p=3.)
Den første av disse egenskapene er hva vi kan tenke på som en måte å karakterisere primtall, men dessverre uttrykk for at eiendommen er irreducible. Den andre egenskapen er kalt prime., I tilfelle av positive heltall, selvfølgelig, de samme tallene tilfredsstille begge egenskaper. Men det er ikke sant for alle interessante sett med tall.
Som et eksempel, la oss se på et sett av tall på formen a+b√-5, eller a+ib√5, der a og b er både heltall og jeg er kvadratroten av -1. Hvis du multiplisere tallene 1+√-5 og 1-√-5, du får 6. Selvfølgelig, du får også 6 hvis du multipliserer 2 og 3, som er i dette settet av tall som godt, med b=0. Hver av tallene 2, 3, 1+√-5, og 1-√-5 ikke kan brytes ned videre og skrives som produktet av tall som ikke er enheter., (Hvis du ikke ta mitt ord for det, det er ikke så vanskelig å overbevise deg selv.) Men produktet (1+√-5)(1-√-5) er delelig med 2, og 2 ikke dele enten 1+√-5 eller 1-√-5. (Igjen, kan du bevise det for deg selv hvis du ikke tror meg.) Så 2 er irreducible, men det er ikke prime. I dette settet av tall, 6 kan være priset inn irreducible tall på to forskjellige måter.,
antall sett ovenfor, som matematikere kan kalle Z (uttales «zee føyes kvadratrøtter av negative fem» eller «zed føyes kvadratrøtter av negative fem, pip pip, cheerio», avhengig av hva du liker å kalle den siste bokstaven i alfabetet), har to enheter, 1 og -1. Men det er tilsvarende tall angir som har et uendelig antall enheter. Som sett som dette ble gjenstand for undersøkelse, er det fornuftig at definisjoner av enheten, irreducible, og prime må være nøye avgrenset., Spesielt, hvis det er tall angir med et uendelig antall enheter, det blir vanskeligere å finne ut hva vi mener med unike primtallsfaktorisering av tall med mindre vi presisere at enheter ikke kan bli statsminister. Mens jeg er ikke en matte historiker eller et nummer som teoretiker og ville elske å lese mer om nøyaktig hvordan denne prosessen fant sted før spekulere videre, jeg tror dette er en utvikling Caldwell og Xiong sikter til at motiverte utelukkelse av 1 fra primtall.,
Som skjer så ofte, min første ryddig og svare for hvorfor ting er som de er og endte opp med å bli bare en del av historien. Takk til min venn for å spørre spørsmål og hjelpe meg å lære mer om den rotete historie primality.
*Denne setningen ble redigert etter publisering for å klargjøre at ingen andre positive heltall har en multiplicative inverse det er også et heltall.