Siden 1970-tallet, opsjonsprisingsmodell som er utviklet av Robert Merton, Myron Scholes og Fischer Svart har eksistert, og er fortsatt brukes i praksis for å beregne verdien av opsjoner. Siden da har modellen flere ganger gjennomgått endringer, men har vært mer eller mindre den samme i sin grunnleggende design., De tre forskernes modell selv viste seg å være så vellykket at Merton og Scholes ble tildelt nobelprisen i Økonomi i 1997. Svart døde i 1995. Selv om modellen er korrekt kalt Black-Scholes-Merton-modellen, i praksis Merton er ikke lenger nevnt, og for enkelhets skyld nesten alle lærebøker, praktikere og akademikere i dag se modellen Black-Scholes modellen.
Black-Scholes-modellen er i utgangspunktet svært lik den binomiske treet modellen vi allerede vet., Men her tidsperioder er delt inn i et nesten uendelig antall sub-perioder. Delene er så små at de flettes inn i hverandre. Dermed, en tid-kontinuerlig system (Engl. kontinuerlig-tid-modellen). Black-Scholes-modellen er tid-kontinuerlig modell av den binomiske modellen.
grunnleggende forutsetninger i Black-Scholes modellen
• Alternativet er i Europeisk stil.
• Det er ingen utbytte eller andre kontantstrømmer i løpet av perioden.
• Det er ingen transaksjonskostnader.,
• Normal distribusjon: Avkastning på underliggende eiendeler er normalfordelt.
• risikofri rente er kjent og er konstant over begrep av opsjonen.
• volatiliteten (svingningene utvalg av prisen) på det underliggende er kjent og er konstant over begrep av opsjonen.
Excursus på jevn interesse (Engl. kontinuerlig compounding), logaritmen og den naturlige logaritmen
Tenk sikkerhet er verdt 10 euro i dag. Etter ett år, verdien av sikkerhet har steget til 11 euro, dvs. med 10%., Imidlertid, hvis dette øker i verdi, dvs. denne avkastningen, er lønnet på en kontinuerlig basis, denne avkastningen er beregnet ved hjelp av den naturlige logaritmen. Denne naturlige logaritmen er kalt ln i matematikk. I vårt eksempel, avkastning ville være ln(1.10)=0.0953 som tilsvarer 9.53%. Hvis disse kontinuerlig rentebærende avkastning er normalfordelt, kan vi snakke om lognormally fordelt avkastning. Black-Scholes modellen fungerer med disse lognormal distribusjoner!,>
verdien av Samtale-Alternativet er: \( c=S_{0}*N(d_{1})-Ke^{-r^{c}T}N(d_{2}) \)
verdien av å Sette Alternativet er: \( p=Ke^{-r^{c}T}\left-S_{0}\left \)
hvor \( d_{1}=\frac{ln(S_{0}/K)+\leftT}{\sigma\sqrt{T}} \)
og \( d_{2}=d_{1}-\sigma\sqrt{T} \)
\( S_{0} \) er prisen i-Basert på det tidspunktet \( T_{0} \)
c er prisen på Ring
p er prisen på de Setter
X er Streik av Alternativ
\( r^{c} \), er på en kontinuerlig Basis, renter, risikofri rente
T er den perioden opp til utløpet av Opsjonen, vist i Deler et år (for eksempel,,B. 1 måned = 1/12, 1 dag = 1/365, ect.)
σ («Sigma») er volatilitet, dvs. annualisert standardavvik på avkastning av det underliggende aktiva
\( σ^{2} \) er variansen av inntekt base-verdi
ln er den naturlige logaritmen
e er Euler-nummer (e er grunntallet i den naturlige logaritmen og er et uendelig antall avrundet hun er 2,71828)
N(d) er området under normal distribusjon kurve. Verdien av N(d) kan bli funnet i standard distribusjon bord., Bordet kan bli funnet i noen lærebok for statistikk, i alle alternativ programvare eller på Wikipedia under «Tabell Standard normalfordeling».
Som formelen i seg selv kan bli sett, trenger vi følgende variabler for beregning av alternativ priser:
• prisen på den underliggende aktiva
• innløsningskursen
• tiden for utøvelse av skjønn
• risikofri rente
• Den volatilitet (standardavvik) base-verdi
Dette er forkortet med den såkalte «Grekere».,
Kilder til informasjon for variablene
Men hvor får vi verdier for de enkelte variablene? Den enkleste måten er å ha direkte tilgang til et informasjonssystem som Reuters eller Bloomberg. Imidlertid, siden disse systemene er ekstremt dyrt, dette gjelder ikke alle.
en Annen, for det meste er offentlig tilgjengelig kilde er verdipapirer og futures børser. De fleste børser publisere forsinket data på sine nettsider. På den annen side, de selger real-time data seg til Reuters, Bloomberg og Co., For en ren øvelse, en omtrentlig verdivurdering, samt en påfølgende pris sjekk, gang-forsinket data er tilstrekkelig (det er vanligvis 15 minutter, men noen utveksling gi sine data bare en dag forsinket pris). Men tid-forsinket data er ikke lenger ideell for handel på en større skala.
På børsen, vil du alltid finne prisen på det underliggende aktiva, som du absolutt trenger som en viktig variabel.
Hvis du valg er allerede omsatt på futures børser på underliggende, kan du se implisitt volatilitet av alternativer der., Deretter kan du bruke dette volatilitet fordi det viser hvor profesjonelle markedet skaperne av store investeringsbanker se svingninger varierer i pris på underliggende for akkurat dette alternativet. Implisitt i dette volatilitet er kalt fordi den ikke kan leses direkte hvor som helst, men det er bare «regnet» fra handlede opsjoner.
Det implisitt volatilitet – så vel som historisk volatilitet for underliggende – er i stadig endring. Hver gang du oppdaterer din pris, må du også justere volatilitet.,
Hvis ingen alternativer er notert på underliggende i det finansielle markedet, må du gjøre forutsetninger for volatilitet deg selv. Du kan bruke historisk volatilitet i den underliggende som et utgangspunkt, som du enten kan beregne på grunnlag av tidsserier av prisen data selv, eller, hvis du er heldig, har allerede blitt beregnet for deg ved børsen. Men sørg for å velge en rimelig periode! Etter at, du fortsatt trenger å gjøre justeringer som gjenspeiler forventninger har du til fremtiden (dvs. den perioden som alternativ)., Dette høres enklere ut enn det faktisk er, fordi ingen kjenner fremtiden, og at du derfor må justere hele tiden.