내 엔지니어 친구가 최근에 숫자 1 이 소수인지 아닌지를 확신하지 못한다고 말하면서 나를 놀라게했습니다. 나는 수학자들 사이에서 1 이 보편적으로 비 소수라고 간주되기 때문에 놀랐다.
혼란은 사람이”소수”를 줄 수있는이 정의로 시작됩니다:소수는 1 과 그 자체로 만 나눌 수있는 양의 전체 숫자입니다. 숫자 1 은 1 로 나눌 수 있으며 그 자체로 나눌 수 있습니다. 그러나 그 자체와 1 은 두 가지 별개의 요소가 아닙니다., 1 프라임 또는 아닙니다? 내가 쓸 때의 정의 주요 문서에서 내가 제거하려고 하는 모호함을 말해라 수 있는 정확하게 두 가지 요인 1 자체 또는 주요한은 전체 1 보다 큰 것에만 1 로 나눌 수 있고 자체입니다. 그러나 왜 1 을 제외하기 위해 그 길이로 가야합니까?
나는 수학적 훈련을 가르쳐 좋은 이유로 1 되지 않으로 간주 총리는 기본적인 정리를 산술의 주장하는 모든 수으로 작성할 수 있는 제품의 소수에 정확히 하나의 방법입니다. 1 이 프라임이라면,우리는 그 독창성을 잃을 것입니다., 2 를 1×2 또는 1×1×2 또는 1594827×2 로 쓸 수 있습니다. 소수에서 1 을 제외하면 부드럽게됩니다.
내는 원래의 계획에 어떻게 이 문서에서 갈 것이었다는 것을 설명 근본적인 원리의 연산을 수행합니다. 하지만 정말 그렇게 어렵지 않을 수정하면 문의 기본 원리의 산수소 1 문제,모든 후,내 친구의 질문을 흥미 내 호기심을 어떻게 수학자들이 합체에서 이 정의의 주요?, 얼핏 주위에 어떤 Wikipedia 페이지에 관련된 이론을 회전하는 주장은 1 사용하려될 것이다 주요하지만 더 이상 이지 않는다. 그러나 Chris Caldwell 과 Yeng Xiong 의 논문은 개념의 역사가 조금 더 복잡하다는 것을 보여줍니다. 나는 감사하는 감정의 시작 부분에서 그들의 문서”첫째,는지 여부를 번호(특히 유니티)는 주요한 문제의 정의,그래서는 선택의 문제,컨텍스트와 전통,문제의 증거입니다., 아직 정의를 만들지는 랜덤하며 이러한 선택은 우리 사용법의 수학하고,특히 이 경우에,우리의 공식 입니다.”
콜드웰과 시옹은 고전 그리스 수학자로 시작합니다. 그들은 2,3,4 등이 숫자와 같은 방식으로 1 을 숫자로 간주하지 않았습니다. 1 은 단위로 간주되었고 숫자는 여러 단위로 구성되었습니다. 그런 이유로 1 은 소수 일 수 없었습니다-숫자도 아니 었습니다. 9 세기 아랍 수학자 알 킨드(al-Kindī)는 숫자가 아니기 때문에 짝수 또는 홀수가 아니라고 썼다., 1 이 모든 숫자에 대한 빌딩 블록 이었지만 숫자 자체가 아니라는 견해는 수세기 동안 지속되었습니다.
1585 년 플랑드르 수학자 Simon Stevin 은 기본 10 에서 산술을 할 때 숫자 1 과 다른 숫자 사이에 차이가 없다고 지적했습니다. 모든 의도와 목적을 위해 1 은 다른 크기가하는 방식대로 동작합니다. 즉각적인 것은 아니었지만,이 관찰은 결국 수학자들이 다른 숫자와 마찬가지로 1 을 숫자로 취급하도록 유도했습니다.
19 세기 말까지 일부 인상적인 수학자들은 1 소수를 고려했으며 일부는 그렇지 않았습니다., 로까지 말할 수 없었 문제가 발생하는 분쟁해 가장 인기 있는 수학적 질문,구별하지 않은 정말 중요합니다. 콜드웰(Caldwell)과 시옹(Xiong)은 G.H. 하디(Hardy)를 1 을 소수라고 생각하는 마지막 주요 수학자로 인용합니다. (그는 1908 년에서 1933 년 사이에 출판 된 순수 수학 과정의 처음 6 개 판에 그것을 명시 적으로 소수로 포함시켰다. 그는 1938 년에 2 를 가장 작은 소수로 만들기 위해 정의를 업데이트했습니다.)
이 기사는 소수 및 제외 1 의 정의를 공고히하는 데 도움이 된 수학의 변화 중 일부를 언급하지만 탐구하지 않습니다., 특히 중요한 변화 중 하나는 정수처럼 다소 동작하는 정수를 넘어서는 숫자 집합을 개발하는 것이 었습니다.
가장 기본적인 예에서 숫자-2 가 소수인지 여부를 물을 수 있습니다. 질문은 무의미한 것처럼 보일 수 있지만,전체 숫자에서 1 의 고유 한 역할을 말로 표현하도록 동기를 부여 할 수 있습니다. 전체 숫자에서 1 의 가장 특이한 측면은 정수이기도 한 곱셈 역수를 가지고 있다는 것입니다. (숫자 x 의 곱셈 역수는 x 를 곱할 때 1 을주는 숫자입니다., 숫자 2 는 합리적 또는 실제 숫자 집합에서 1/2:1/2×2=1 의 곱셈 역수를 갖지만 1/2 은 정수가 아닙니다.)숫자 1 은 자체 곱셈 역수로 발생합니다. 다른 양의 정수에는 정수 세트 내에 곱셈 역수가 없습니다.*곱셈 역수를 갖는 속성을 단위가되는 것이라고합니다. 숫자-1 은 또한 정수 세트 내의 단위입니다:다시 말하지만,그것은 자체 곱셈 역수입니다. 우리는 고려하지 않는다는 단위를 중 하나 또는 복합할 수 있기 때문에 그들을 곱하여 특정의 다른 단위를 변경하지 않고 많., 그런 다음 숫자-2 를 2 와 너무 다르지 않다고 생각할 수 있습니다.곱셈의 관점에서-2 는 단위의 2 배에 불과합니다. 2 가 소수 인 경우-2 도 있어야합니다.
나는 부지런히 피할 정의 프라임에 이전 단락 때문에 불행한 사실에 대해 정의의 주요하기 때문이 큰 집의 숫자:그것은 잘못입니다! 만,그것은 잘못이지만,그것은 조금 어긋,그리고 했었다면 여왕의 정수론,나는 선택을 위해 용어의 정의는 않습니다., 에 긍정적인 전체의 숫자가 각 주요 수 p 속성이 두 개 있습니다:
수 p 할 수 없으로 작성된 제품의 모든 숫자는,어느입니다.
할 때마다 제품 m n 나눌 수 있 by p,then m 또는 n 으로 나눌 수 있어야 합 p. (하이 무엇인지 확인 이 숙박 시설을 의미에서 예를 들어,상상 m=10,n=6,p=3.이러한 속성 중 첫 번째 속성은 소수를 특성화하는 방법으로 생각할 수 있지만 불행히도 해당 속성에 대한 용어는 되돌릴 수 없습니다. 두 번째 속성은 프라임이라고합니다., 양의 정수의 경우 물론 동일한 숫자가 두 속성을 모두 만족시킵니다. 그러나 그것은 모든 흥미로운 숫자 세트에 대해 사실이 아닙니다.
예를 들어 a 와 b 가 모두 정수이고 i 가-1 의 제곱근 인 a+b√-5 또는 a+ib√5 형식의 숫자 집합을 살펴 보겠습니다. 숫자 1+√-5 와 1-√-5 를 곱하면 6 이됩니다. 물론 2 와 3 을 곱하면 6 이됩니다.이 숫자 세트에도 b=0 이 있습니다. 각각의 숫자 2,3,1+√-5 및 1-√-5 할 수 없는 좀 더 세분화 및 기록의 제품으로지 않은 숫자 단위입니다., (당신이 그것에 대해 내 말을 받아들이지 않는다면,자신을 설득하기가 너무 어렵지 않습니다.)그러나 제품(1+√-5)(1-√-5) 2 로 나눌 수 있고 2 는 1+√-5 또는 1-√-5 중 하나를 나누지 않습니다. (다시 한번,당신이 나를 믿지 않는다면 스스로 증명할 수 있습니다.)그래서 2 는 되돌릴 수 없지만 소수가 아닙니다. 이 숫자 세트에서 6 은 두 가지 다른 방법으로 되돌릴 수없는 숫자로 인수 분해 될 수 있습니다.,
번호를 설정하기 위한 수학자 수 Z(발음”지에 인접의 다섯”또는”데이빗 인접의 다섯,핍 pip,잘에 따라”당신이 무엇을 좋아하는 호출의 마지막 편지로 알파벳),두 개의 단위 1-1 입니다. 그러나 무한한 수의 단위를 갖는 유사한 숫자 세트가 있습니다. 이와 같은 집합이 연구의 대상이됨에 따라 단위,환원 불가능 및 소수의 정의를주의 깊게 묘사해야한다는 것이 합리적입니다., 특히,이 있는 경우 번호를 설정과 무한한 단위의 수,그것은 더 어려운 그 밖으로 우리는 무엇을 의미하는 고유한 인수 분해 숫자의하지 않는 한 우리는 명확히 그 단위할 수 없습니다. 는 동안 나는 수학 학자 또는 숫자와 이론가 사랑하는 것에 대한 자세한 방법을 정확하게 이 프로세스 전에 일어났다 더 사색,내가 생각하는 사람이 하나가 개발 Caldwell 및 시옹을 암시하는 동기를 제외에서 1 개 소수.,
으로 너무 자주 발생,내 초기 단정하고 깔끔한 대답해 왜 그런 일이 일어날까 하는 그들은 결국에는 일부의 이야기입니다. 질문을하고 원시성의 지저분한 역사에 대해 더 많이 배울 수 있도록 도와 준 내 친구에게 감사드립니다.
*이 문장 편집한 후에는 출판하는 것을 명확히 다른 어떤 양의 정수가 배수 역도 정수입니다.