Un mio amico ingegnere mi ha recentemente sorpreso dicendo che non era sicuro se il numero 1 fosse primo o meno. Sono rimasto sorpreso perché tra i matematici, 1 è universalmente considerato come non primo.
La confusione inizia con questa definizione che una persona potrebbe dare di “primo”: un numero primo è un numero intero positivo che è solo divisibile per 1 e se stesso. Il numero 1 è divisibile per 1, ed è divisibile da solo. Ma se stesso e 1 non sono due fattori distinti., È 1 primo o no? Quando scrivo la definizione di primo in un articolo, cerco di rimuovere quell’ambiguità dicendo che un numero primo ha esattamente due fattori distinti, 1 e se stesso, o che un primo è un numero intero maggiore di 1 che è solo divisibile per 1 e se stesso. Ma perché andare a quelle lunghezze per escludere 1?
La mia formazione matematica mi ha insegnato che la buona ragione per cui 1 non è considerato primo è il teorema fondamentale dell’aritmetica, che afferma che ogni numero può essere scritto come un prodotto di numeri primi esattamente in un modo. Se 1 fosse primo, perderemmo quell’unicità., Potremmo scrivere 2 come 1×2, o 1×1×2, o 1594827×2. Escludendo 1 dai numeri primi che leviga fuori.
Il mio piano originale di come sarebbe andato questo articolo era che avrei spiegato il teorema fondamentale dell’aritmetica e sarei stato fatto con esso. Ma non è così difficile modificare l’affermazione del teorema fondamentale dell’aritmetica per affrontare il problema 1, e dopo tutto, la domanda del mio amico ha suscitato la mia curiosità: come hanno fatto i matematici a fondersi su questa definizione di primo?, Uno sguardo superficiale su alcune pagine di Wikipedia relative alla teoria dei numeri rivela l’affermazione che 1 era considerato primo ma non lo è più. Ma un documento di Chris Caldwell e Yeng Xiong mostra che la storia del concetto è un po ‘ più complicata. Ho apprezzato questo sentimento fin dall’inizio del loro articolo: “In primo luogo, se un numero (specialmente l’unità) è un primo è una questione di definizione, quindi una questione di scelta, contesto e tradizione, non una questione di prova., Tuttavia le definizioni non sono fatte a caso; queste scelte sono vincolate dal nostro uso della matematica e, specialmente in questo caso, dalla nostra notazione.”
Caldwell e Xiong iniziano con matematici greci classici. Non consideravano 1 un numero nello stesso modo in cui 2, 3, 4 e così via sono numeri. 1 era considerato un’unità e un numero era composto da più unità. Per questo motivo, 1 non avrebbe potuto essere primo — non era nemmeno un numero. Nono secolo matematico arabo al-Kindī ha scritto che non era un numero e quindi non pari o dispari., La vista che 1 è stato il blocco di costruzione per tutti i numeri, ma non un numero in sé è durato per secoli.
Nel 1585, il matematico fiammingo Simon Stevin ha sottolineato che quando si fa aritmetica in base 10, non c’è differenza tra la cifra 1 e qualsiasi altra cifra. A tutti gli effetti, 1 si comporta come qualsiasi altra grandezza. Anche se non è stato immediato, questa osservazione alla fine ha portato i matematici per trattare 1 come un numero, proprio come qualsiasi altro numero.
Fino alla fine del 19 ° secolo, alcuni matematici impressionanti consideravano 1 primo, e altri no., Per quanto posso dire, non è stata una questione che ha causato conflitti; per le domande matematiche più popolari, la distinzione non è stato terribilmente importante. Caldwell e Xiong citano GH Hardy come l’ultimo grande matematico a considerare 1 come primo. (Egli esplicitamente incluso come primo nelle prime sei edizioni di un Corso di Matematica pura, che sono stati pubblicati tra il 1908 e il 1933. Ha aggiornato la definizione nel 1938 per rendere 2 il più piccolo primo.)
L’articolo menziona ma non approfondisce alcuni dei cambiamenti nella matematica che hanno contribuito a solidificare la definizione di primo ed escluso 1., In particolare, un cambiamento importante è stato lo sviluppo di insiemi di numeri oltre gli interi che si comportano in qualche modo come numeri interi.
Nell’esempio più semplice, possiamo chiedere se il numero -2 è primo. La domanda può sembrare insensata, ma può motivarci a mettere in parole il ruolo unico di 1 nei numeri interi. L’aspetto più insolito di 1 nei numeri interi è che ha un inverso moltiplicativo che è anche un numero intero. (Un inverso moltiplicativo del numero x è un numero che quando moltiplicato per x dà 1., Il numero 2 ha un inverso moltiplicativo nell’insieme dei numeri razionali o reali, 1/2: 1/2×2=1, ma 1/2 non è un numero intero.) Il numero 1 sembra essere il suo inverso moltiplicativo. Nessun altro numero intero positivo ha un inverso moltiplicativo all’interno dell’insieme di numeri interi.* La proprietà di avere un inverso moltiplicativo è chiamata essere un’unità. Il numero -1 è anche un’unità all’interno dell’insieme di numeri interi: di nuovo, è il suo inverso moltiplicativo. Non consideriamo le unità prime o composite perché è possibile moltiplicarle per determinate altre unità senza cambiare molto., Possiamo quindi pensare al numero -2 come non così diverso da 2; dal punto di vista della moltiplicazione, -2 è solo 2 volte un’unità. Se 2 è primo, -2 dovrebbe essere pure.
Ho evitato assiduamente di definire prime nel paragrafo precedente a causa di un fatto sfortunato sulla definizione di prime quando si tratta di questi insiemi di numeri più grandi: è sbagliato! Beh, non è sbagliato, ma è un po ‘ controintuitivo, e se fossi la regina della teoria dei numeri, non avrei scelto per il termine di avere la definizione che fa., Nei numeri interi positivi, ogni numero primo p ha due proprietà:
Il numero p non può essere scritto come il prodotto di due numeri interi, nessuno dei quali è un’unità.
Ogni volta che un prodotto m×n è divisibile per p, allora m o n deve essere divisibile per p. (Per verificare cosa significa questa proprietà su un esempio, immagina che m=10, n=6 e p=3.)
La prima di queste proprietà è ciò che potremmo pensare come un modo per caratterizzare i numeri primi, ma sfortunatamente il termine per quella proprietà è irriducibile. La seconda proprietà è chiamata prime., Nel caso di numeri interi positivi, ovviamente, gli stessi numeri soddisfano entrambe le proprietà. Ma questo non è vero per ogni interessante serie di numeri.
Ad esempio, diamo un’occhiata all’insieme di numeri della forma a+b√-5, o a+ib√5, dove a e b sono entrambi interi e i è la radice quadrata di -1. Se moltiplichi i numeri 1 + √-5 e 1 – √-5, ottieni 6. Ovviamente, ottieni anche 6 se moltiplichi 2 e 3, che sono anche in questo insieme di numeri, con b = 0. Ciascuno dei numeri 2, 3, 1+√-5 e 1-√-5 non può essere scomposto ulteriormente e scritto come il prodotto di numeri che non sono unità., (Se non prendi la mia parola per questo, non è troppo difficile convincerti.) Ma il prodotto (1+√-5)(1-√-5) è divisibile per 2 e 2 non divide 1 + √-5 o 1 – √-5. (Ancora una volta, puoi dimostrarlo a te stesso se non mi credi.) Quindi 2 è irriducibile, ma non è primo. In questo insieme di numeri, 6 può essere scomposto in numeri irriducibili in due modi diversi.,
Il numero impostato sopra, che i matematici potrebbero chiamare Z (pronunciato “zee adiacente alla radice quadrata di negativo cinque” o “zed adiacente alla radice quadrata di negativo cinque, pip pip, cheerio” a seconda di ciò che ti piace chiamare l’ultima lettera dell’alfabeto), ha due unità, 1 e -1. Ma ci sono serie di numeri simili che hanno un numero infinito di unità. Poiché insiemi come questo sono diventati oggetti di studio, ha senso che le definizioni di unità, irriducibili e prime debbano essere accuratamente delineate., In particolare, se ci sono insiemi di numeri con un numero infinito di unità, diventa più difficile capire cosa intendiamo per fattorizzazione unica dei numeri a meno che non chiariamo che le unità non possono essere prime. Mentre io non sono uno storico della matematica o un teorico numero e mi piacerebbe leggere di più su esattamente come questo processo ha avuto luogo prima di speculare ulteriormente, penso che questo è uno sviluppo Caldwell e Xiong alludono a che ha motivato l ” esclusione di 1 dai numeri primi.,
Come accade così spesso, la mia risposta iniziale pulita e ordinata per il motivo per cui le cose sono come sono finite per essere solo una parte della storia. Grazie al mio amico per aver posto la domanda e avermi aiutato a saperne di più sulla storia disordinata della primalità.
*Questa frase è stata modificata dopo la pubblicazione per chiarire che nessun altro numero intero positivo ha un inverso moltiplicativo che è anche un numero intero.