Dal 1970, il modello di prezzo delle opzioni sviluppato da Robert Merton, Myron Scholes e Fischer Black è stato intorno, ed è ancora utilizzato nella pratica per calcolare il valore delle opzioni. Da allora, il modello ha subito ripetutamente modifiche, ma è rimasto più o meno lo stesso nel suo design di base., Il modello dei tre scienziati si è persino rivelato un tale successo che Merton e Scholes hanno ricevuto il premio Nobel per l’Economia nel 1997. Black era morto nel 1995. Sebbene il modello sia correttamente chiamato modello Black-Scholes-Merton, in pratica Merton non è più menzionato e per semplicità quasi tutti i libri di testo, i professionisti e gli accademici oggi si riferiscono al modello come modello Black-Scholes.
Il modello di Black Scholes è fondamentalmente molto simile al modello ad albero binomiale che già conosciamo., Tuttavia, qui i periodi di tempo sono divisi in un numero quasi infinito di sotto-periodi. Le sezioni sono così piccole che si fondono l’una nell’altra. Quindi, un sistema tempo-continuo (Ingl. modello a tempo continuo). Il modello di Black Scholes è il modello continuo nel tempo del modello binomiale.
presupposti di base nel modello Black-Scholes
• L’opzione è in stile europeo.
• Non ci sono dividendi o altri flussi di cassa durante il periodo.
• Non ci sono costi di transazione.,
• Distribuzione normale: i rendimenti delle attività sottostanti sono normalmente distribuiti.
• Il tasso di interesse privo di rischio è noto ed è costante per tutta la durata dell’opzione.
• La volatilità (intervallo di fluttuazione del prezzo) del sottostante è nota ed è costante per tutta la durata dell’opzione.
Excursus su interesse costante (Ingl. compounding continuo), il logaritmo e il logaritmo naturale
Supponiamo che un titolo valga oggi 10 euro. Dopo un anno, il valore del titolo è salito a 11 euro, cioè del 10%., Tuttavia, se questo aumento di valore, cioè questo rendimento, viene remunerato su base continua, questo rendimento viene calcolato utilizzando il logaritmo naturale. Questo logaritmo naturale è chiamato ln in matematica. Nel nostro esempio, il rendimento sarebbe ln(1.10)=0.0953 che corrisponde al 9.53%. Se questi rendimenti continuamente fruttiferi sono normalmente distribuiti, parliamo di rendimenti lognormalmente distribuiti. Il modello Black-Scholes funziona con queste distribuzioni lognormal!,>
il valore dell’Opzione Call è: \( c=S_{0}*N(d_{1})-Ke^{-r^{c}T}N(d_{2}) \)
il valore dell’Opzione Put è: \( p=Ke^{-r^{c}T}\left-S_{0}\left \)
dove \( d_{1}=\frac{ln(S_{0}/K)+\leftT}{\sigma\sqrt{T}} \)
e \( d_{2}=d_{1}-\sigma\sqrt{T} \)
\( S_{0} \) è il prezzo in Base al tempo di \( T_{0} \)
c è il prezzo della Chiamata
p è il prezzo dell’Mette
X è lo Strike dell’Opzione
\( r^{c} \) è, su Base continua, tassi di interesse, tasso di interesse risk free
T è il periodo di tempo fino alla scadenza dell’Opzione, mostrato in alcune Parti un anno (per esempio,,B. 1 mese = 1/12, 1 giorno = 1/365, ect.)
σ (“Sigma”) la volatilità, ovvero la annualizzata deviazione standard dei rendimenti del sottostante
\( s^{2} \) è la varianza del reddito valore di base
ln è il logaritmo naturale
e è il numero di Eulero (e è la base del logaritmo naturale ed è un numero infinito arrotondato lei è 2,71828)
N(d) è l’area sotto la curva di distribuzione normale. Il valore di N (d) può essere trovato nelle tabelle di distribuzione standard., La tabella può essere trovata in qualsiasi libro di testo per le statistiche, in qualsiasi software di opzione o su Wikipedia sotto “Tabella Standard Distribuzione normale”.
Come la formula di per sé può essere visto, abbiamo bisogno delle seguenti variabili per il calcolo dei prezzi delle opzioni:
• Il prezzo dell’attività sottostante
• Il prezzo di esercizio
• il tempo per L’esercizio dell’Opzione
• Il tasso privo di rischio di interesse
• La volatilità (deviazione standard) il valore di base
Questi sono abbreviati con la cosiddetta “Greci”.,
Fonti di informazione per le variabili
Ma dove otteniamo i valori per le singole variabili? Il modo più semplice è avere accesso diretto a un sistema informativo come Reuters o Bloomberg. Tuttavia, poiché questi sistemi sono estremamente costosi, questo non si applica a tutti.
Un’altra fonte, per lo più accessibile al pubblico, sono gli scambi di titoli e futures. La maggior parte degli scambi pubblica dati ritardati sui loro siti web. D’altra parte, vendono dati in tempo reale a Reuters, Bloomberg e Co., Per un puro esercizio, una valutazione approssimativa e un successivo controllo dei prezzi, i dati ritardati sono sufficienti (di solito sono 15 minuti, ma alcuni scambi danno i loro dati solo un giorno di ritardo prezzo). Tuttavia, i dati ritardati non sono più ideali per il trading su scala più ampia.
In borsa troverai sempre il prezzo dell’attività sottostante, di cui hai assolutamente bisogno come variabile importante.
Se le opzioni sono già negoziate sugli scambi di futures sul tuo sottostante, puoi vedere la volatilità implicita delle opzioni lì., Quindi usa questa volatilità perché indica come i market maker professionisti delle grandi banche d’investimento vedono l’intervallo di fluttuazione nel prezzo del sottostante esattamente per questa opzione. Implicitamente, questa volatilità viene chiamata perché non può essere letta direttamente da nessuna parte, ma viene solo “ricalcolata” dalle opzioni negoziate.
La volatilità implicita – così come la volatilità storica del sottostante – è in continua evoluzione. Ogni volta che aggiorni il tuo prezzo, devi anche regolare la volatilità.,
Se non vengono negoziate opzioni sul sottostante nel mercato finanziario, è necessario formulare ipotesi per la volatilità. È possibile utilizzare la volatilità storica nel sottostante come punto di partenza, che è possibile calcolare sulla base di serie temporali dei dati di prezzo da soli o, se si è fortunati, è già stato calcolato per voi dalla borsa. Ma assicurati di scegliere un periodo ragionevole! Dopo di che, è ancora necessario apportare modifiche che riflettono le vostre aspettative per il futuro (cioè il termine della vostra opzione)., Questo sembra più facile di quanto non sia in realtà, perché nessuno conosce il futuro, e quindi dovrai adattarti costantemente.