La distribuzione di Poisson è in realtà un tipo importante di formula di distribuzione di probabilità. Come nella distribuzione binomiale, non conosceremo il numero di prove o la probabilità di successo su una determinata pista. Il numero medio di successi sarà dato per un certo intervallo di tempo. Il numero medio di successi è chiamato “Lambda” e indicato dal simbolo \(\lambda\). In questo articolo, discuteremo la formula di distribuzione di Poisson con esempi. Cominciamo ad imparare!,
Formula di distribuzione di Poisson
Concetto di distribuzione di Poisson
Il matematico francese Siméon-Denis Poisson sviluppò questa funzione nel 1830. Questo è usato per descrivere il numero di volte in cui un giocatore può vincere un gioco d’azzardo raramente vinto su un gran numero di tentativi.
La variabile casuale di Poisson segue le seguenti condizioni:
- Il numero di successi in due intervalli di tempo disgiunti è indipendente.,
- La probabilità di successo durante un determinato intervallo di tempo è proporzionale all’intera lunghezza dell’intervallo di tempo.
Oltre agli intervalli di tempo disgiunti, la variabile casuale di Poisson si applica anche alle regioni disgiunte dello spazio.
Alcune applicazioni della distribuzione di Poisson sono le seguenti:
- Il numero di morti per calci di cavallo nell’esercito prussiano.
- Difetti alla nascita e mutazioni genetiche.
- Malattie rare come la leucemia, perché è molto infettiva e quindi non indipendente principalmente nei casi legali.
- Previsione incidente d’auto sulle strade.,
- Flusso di traffico e la distanza ideale tra i veicoli.
- Il numero di errori di battitura trovati su una pagina di un libro.
- Peli trovati negli hamburger di McDonald.
- La diffusione di un animale in via di estinzione in Africa.
- Guasto di una macchina in un mese.
Formula per la Distribuzione di Poisson
La distribuzione di probabilità di una variabile casuale di Poisson supponiamo x Che rappresenta il numero di successi che si verificano in un dato intervallo di tempo è dato dalla formula:
\(\displaystyle{ P }{\left({ X }\right )}=\frac{{{ e }^{-\mu}\mu^{ x }}}{{{ x }!,} Per maggiori informazioni clicca qui}={0},{1},{2},{3},…\)
\(\displaystyle{e}={2.71828}\)
\(\mu\)= numero medio di successi nel dato intervallo di tempo o regione di spazio.
Media e varianza della distribuzione di Poisson:
Se \(\mu\) è il numero medio di successi che si verificano in un determinato intervallo di tempo o regione nella distribuzione di Poisson. Quindi la media e la varianza della distribuzione di Poisson sono entrambe uguali a \(\mu\).,
Quindi,
E(X) = \(\mu\)
e
V(X) = \(\sigma^2 = \mu\)
Ricorda che, in una distribuzione di Poisson, è necessario un solo parametro, \(\mu\) per determinare la probabilità di un dato evento.
Alcuni esempi risolti per te
Esempio-1: Alcuni veicoli passano attraverso un incrocio su una strada trafficata ad una velocità media di 300 all’ora.
- Scopri la probabilità che nessuno passi in un dato minuto.
- Qual è il numero previsto di passaggi in due minuti?,
- Trova la probabilità che questo numero previsto trovato sopra passi effettivamente in un dato periodo di due minuti.
Soluzione: per Prima cosa calcoliamo,
Il numero medio di auto al minuto:
\(\displaystyle\mu = \frac{300}{{60}}\)
\(\displaystyle\mu\) = 5
(a)Applicando la formula:
\(\displaystyle{P}{\left({ X }\right )}=\frac{{{ e }^{-\mu }\mu^{x}}}{{{x}!} Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}^{ -{{5}}}{5}^{0}}}{{{0}!}}={ 6.,7379 }\times{10}^{ -{{3}}} \)
(b) numero Previsto di 2 minuti = E(X) = 5 x 2 = 10
(c) Ora, con \(\mu\) = 10, abbiamo:
\(\displaystyle{ P }{\left({ x }_{{ 10 }}\right)}=\frac{{{e}^{ -{{10}}}{10}^{10}}}{{{10}!}} = {0.12511}\)