In matematica, una formula di approssimazione lineare è un’approssimazione di una funzione generale utilizzando una funzione lineare (più precisamente, una funzione affine). Sono ampiamente utilizzati nel metodo delle differenze finite per produrre metodi del primo ordine per risolvere o approssimare soluzioni alle equazioni.
Questa approssimazione è fondamentale per molte tecniche numeriche note come il Metodo di Eulero per approssimare le soluzioni alle equazioni differenziali ordinarie., L’idea di usare approssimazioni lineari si basa sulla vicinanza della linea tangente al grafico della funzione attorno a un punto.
Formula
Questa lezione mostra come trovare una linearizzazione di una funzione e come utilizzarlo per fare una approssimazione lineare. Questo metodo è usato abbastanza spesso in molti campi della scienza e richiede di conoscere un po ‘ il calcolo, in particolare, come trovare un derivato.,
Piani tangenti e approssimazioni lineari
Intuitivamente, sembra chiaro che, in un piano, solo una linea può essere tangente a una curva in un punto. Tuttavia, nello spazio tridimensionale, molte linee possono essere tangenti a un dato punto. Se queste linee si trovano nello stesso piano, determinano il piano tangente in quel punto. Un modo più intuitivo per pensare a un piano tangente è assumere che la superficie sia liscia in quel punto (senza angoli). Quindi, una linea tangente alla superficie in quel punto in qualsiasi direzione non ha bruschi cambiamenti di pendenza perché la direzione cambia senza intoppi., Pertanto, in un quartiere abbastanza piccolo attorno al punto, un piano tangente tocca la superficie solo in quel punto.
Linee tangenti e linearizzazione
Esaminiamo un fatto di base sulle derivate. Il valore della derivata in un punto specifico, x = a, misura la pendenza della curva, y = f(x), in quel punto. In altre parole, f ‘ (a) = pendenza della retta tangente ad a.,
Ora, la retta tangente è speciale perché è una linea che corrisponde alla direzione della curva più stretta, a specifiche valore di x che ti interessa. Si noti quanto sono vicini i valori y della funzione e la linea tangente quando x è vicino al punto in cui la linea tangente incontra la curva.,
Quindi, se la curva y = f(x) è troppo complicata per funzionare, e se sei interessato solo ai valori della funzione vicino a un punto particolare, allora potresti buttare via la funzione e usare solo la linea tangente. Beh, in realtà non buttare via la funzione. . . potremmo averne bisogno più tardi!
Formula per la linearizzazione
Quindi, come si trova la linearizzazione di una funzione f in un punto x = a?, Ricorda che l’equazione di una linea può essere determinata se sai due cose:
- La pendenza della linea, m
- Ogni singolo punto che la linea attraversa, (a, b).
Inseriamo questi pezzi di informazioni nella forma punto-pendenza, e questo ci dà l’equazione della linea. (Questa è solo algebra, gente; nessun calcolo ancora.)
y – b = m(x–a)
Ma, in problemi come questi, non ti verranno dati valori per b o m. Invece, devi trovarli da solo., In primo luogo m = f ‘(a), perché la derivata misura la pendenza, e in secondo luogo, b = f(a), perché la funzione originale misura i valori y.
Formula di approssimazione lineare locale
L’approssimazione lineare è il processo di ricerca dell’equazione di una linea che è la stima più vicina di una funzione per un dato valore di x. L’approssimazione lineare è anche nota come approssimazione della linea tangente e viene utilizzata per semplificare le formule associate alle funzioni trigonometriche, specialmente in ottica., All’osservazione infinitesimale, una curva inizia ad assomigliare a una linea retta, quindi l’approssimazione lineare può imitare molto da vicino la funzione. Per una funzione a valore reale due volte differenziabile f (x), 
, dove R2 è il termine rimanente. L’approssimazione lineare, quindi, è data da 
. Questa approssimazione è equivalente all’equazione per la retta tangente ad un.,
Applicazioni Di Approssimazioni Lineari
Ottica
Gaussiana ottica è una tecnica ottica geometrica che descrive il comportamento dei raggi di luce in sistemi ottici utilizzando l’approssimazione parassiale, in cui solo i raggi che fanno piccoli angoli con l’asse ottico del sistema considerato. In questa approssimazione, le funzioni trigonometriche possono essere espresse come funzioni lineari degli angoli. L’ottica gaussiana si applica ai sistemi in cui tutte le superfici ottiche sono piatte o sono porzioni di una sfera., In questo caso, possono essere fornite semplici formule esplicite per parametri di un sistema di imaging come distanza focale, ingrandimento e luminosità, in termini di forme geometriche e proprietà del materiale degli elementi costitutivi.
Periodo di oscillazione
Il periodo di oscillazione di un pendolo a gravità semplice dipende dalla sua lunghezza, dalla forza di gravità locale e in piccola misura dall’angolo massimo che il pendolo oscilla dalla verticale, θ0, chiamata ampiezza. È indipendente dalla massa del bob., Il vero periodo T di un pendolo semplice, il tempo impiegato per un ciclo completo di un pendolo a gravità semplice ideale, può essere scritto in diverse forme.