Depuis les années 1970, le modèle d’évaluation des prix des options développé par Robert Merton, Myron Scholes et Fischer Black existe déjà et est encore utilisé dans la pratique pour calculer la valeur des options. Depuis lors, le modèle N’a cessé de changer, mais il est resté plus ou moins le même dans sa conception de base., Le modèle des trois scientifiques s’est avéré si réussi que Merton et Scholes ont reçu le prix Nobel D’économie en 1997. Black était décédé en 1995. Bien que le modèle S’appelle correctement le modèle Black-Scholes-Merton, Merton n’est plus mentionné dans la pratique et, par souci de simplicité, presque tous les manuels, praticiens et universitaires appellent aujourd’hui le modèle Black-Scholes.
le modèle Black Scholes est fondamentalement très similaire au modèle D’arbre binomial que nous connaissons déjà., Cependant, ici les périodes sont divisées en un nombre presque infini de sous-sections. Les Sections sont si petites qu’elles fondent. C’est ainsi que se développe un système continu dans le temps (Engl. continuous-time model). Le modèle Black Scholes est le modèle continu dans le temps du modèle binomial.
hypothèses de base dans le modèle Black Scholes
• L’Option est de style européen.
• * Il n’y a pas de dividendes ou D’autres flux de trésorerie pendant la durée. • * Il n’y a pas de frais de transaction.,
• distribution normale: les produits des sous-jacents sont distribués normalement.
• le taux sans risque est connu et constant tout au long de la durée de L’Option.
• la volatilité (marge de fluctuation du prix) de l’actif sous-jacent est connue et constante sur la durée de l’Option.
digression pour le taux d’intérêt constant (Engl. composition continue), le logarithme et le logarithme naturel
supposons qu’un titre vaut aujourd’hui 10 euros. Après un an, la valeur du titre est passée à 11 euros, soit une hausse de 10%., Si cette augmentation de la valeur, c’est-à-dire ce rendement, est rémunérée sur une base continue, on calcule ce rendement en utilisant le logarithme naturel. Ce logarithme naturel est appelé ln en mathématiques. Dans notre exemple, le rendement serait ln(1,10)=0,0953, ce qui correspond à 9,53%. Si ces rendements à intérêt continu sont distribués normalement, on parle de rendements distribués lognormal. Le modèle Black Scholes fonctionne avec ces distributions lognormales!,>
valeur de L’option Call: \( c=s_{0}*N(d_{1})-Ke^{-r^{C}T}n(d_{2}) \)
valeur de L’Option Put: \( p=KE^{-R^{C}T}\left-s_{0}\left \)
où \( d_{1}=\frac{ln(s_{0}/K)+\leftT}{\Sigma\sqrt{t}} \)
et \( d_{2}=d_{1}-\Sigma\sqrt{t} \)
\( s_{0} \) est le prix de la valeur de base au moment \( t_{0} \)
c est le prix de l’appel
P est le prix du PUT
x est la grève de L’option
\( r^{c} \) est le taux D’intérêt sans risque sur une base continue
T est le délai avant l’expiration de l’option, représenté en parties d’une année (p. ex.,B. 1 mois = 1/12, 1 jour = 1/365, ect.)
σ (« Sigma”) est la volatilité, c’est-à-dire L’écart-type annualisé des rendements du sous-jacent
\( σ^{2} \) est la variance des rendements du sous-jacent
ln est le logarithme naturel
e est le nombre eulérien (e est la base du logarithme naturel et est un nombre infini, arrondi à 2,71828)
N(D) est la surface sous la courbe normalement distribuée. La valeur de N (d) se trouve dans les tableaux de distribution normale standard., Le tableau peut être trouvé dans n’importe quel manuel de statistiques, dans n’importe quel logiciel D’option ou sur Wikipedia sous « tableau distribution normale standard”.
comme le montre la formule elle-même, nous avons besoin des variables suivantes pour calculer nos prix D’option:
• le prix du sous-jacent
• le prix Strike
• la durée jusqu’à L’exercice de notre Option
• le taux sans risque
• la volatilité (écart-type) du sous-jacent
ceux-ci sont abrégés par les « Greeks”.,
sources D’information pour les variables
Mais comment pouvons-nous prendre les valeurs pour chaque variable? Le plus simple est d’avoir accès directement à un système D’information tel que Reuters ou Bloomberg. Mais comme ces systèmes sont extrêmement coûteux, cela ne s’applique pas à tout le monde.
Les marchés des valeurs mobilières et des contrats à terme constituent une autre source, généralement accessible au public. La plupart des échanges publient des données différées sur leurs sites Web. En revanche, vous vendez vous-même des données en temps réel à Reuters, Bloomberg et CO., Pour un exercice pur, une évaluation approximative et une vérification ultérieure des prix, des données retardées suffisent (généralement 15 minutes, mais certaines bourses ne donnent leurs données qu’un jour de retard). Cependant, pour négocier dans un style plus grand, les données temporelles ne sont plus idéales.
en bourse, vous trouverez toujours le cours de l’actif sous-jacent dont vous avez absolument besoin en tant que Variable importante.
Si vous négociez déjà des options sur des marchés à terme sur votre actif sous-jacent, vous pouvez y voir la volatilité implicite des options., Utilisez ensuite cette volatilité, car elle indique comment les teneurs de marché professionnels des grandes banques d’investissement voient la fluctuation du cours du sous-jacent pour cette Option. Implicitement, cette volatilité est appelée parce qu’elle ne peut être lue directement nulle part, mais qu’elle n’est « remboursée” qu’à partir d’options négociées.
la volatilité implicite, tout comme la volatilité historique du sous – jacent, change constamment. Chaque fois que vous mettez à jour votre prix, vous devez également ajuster la volatilité.,
Si vous ne négociez pas d’options sur le marché financier sur votre actif sous-jacent, vous devez faire vous-même des hypothèses de volatilité. La volatilité historique de l’actif sous-jacent, que vous pouvez calculer vous-même à partir des séries chronologiques des données de prix, ou, si vous avez de la chance, a déjà été calculée pour vous par la bourse. Mais assurez-vous de choisir une période raisonnable! Après cela, vous devez effectuer des ajustements qui reflètent vos attentes pour l’avenir (C’est-à-dire la durée de votre Option)., Cela semble plus facile qu’il ne l’est réellement, car personne ne connaît l’avenir et vous devrez donc vous ajuster en permanence.