můj inženýrský přítel mě nedávno překvapil tím, že si nebyl jistý, zda je číslo 1 prvočíslo nebo ne. Byl jsem překvapen, protože mezi matematici, 1 je všeobecně považován za non-prime.
zmatek začíná s touto definicí člověk může dát „prime“: prvočíslo je kladné celé číslo, které je dělitelné pouze 1 a samo sebou. Číslo 1 je dělitelné 1 a je dělitelné samo o sobě. Ale sám a 1 nejsou dva odlišné faktory., Je 1 prvočíslo nebo ne? Když jsem se napsat definici prime v článku, snažím odstranit tak nejednoznačnost tím, prvočíslo má právě dva odlišné faktory, a to 1 a samo sebou, nebo že prvočíslo je celé číslo větší než 1, které je dělitelné pouze 1 a samo sebou. Ale proč jít do těchto délek vyloučit 1?
Moje matematické vzdělávání učil mě, že dobrý důvod 1 není považován za prime je základní věta aritmetiky, která říká, že každé číslo lze zapsat jako součin prvočísel v přesně jedním způsobem. Pokud by 1 byly prvočíslo, ztratili bychom tuto jedinečnost., Mohli bychom napsat 2 jako 1×2, nebo 1×1×2, nebo 1594827×2. Vyjma 1 z prvočísel to vyhladí.
můj původní plán, jak by tento článek šel, byl, že bych vysvětlil základní větu aritmetiky a udělal bych s ní. Ale to opravdu není tak těžké změnit prohlášení o základní teorém aritmetiky řešit problém 1, a koneckonců, můj přítel otázka vzbudil mou zvědavost: jak matematici splynuly na této definici prime?, Zběžný pohled na některé stránky Wikipedie související s teorií čísel ukazuje tvrzení, že 1 býval považován za prvočíslo, ale už není. Ale papír Chris Caldwell a Yeng Xiong ukazuje historii konceptu je trochu složitější. Tento sentiment jsem ocenil od začátku jejich článku: „Za prvé, zda číslo (zejména jednota) je prvočíslo, je otázkou definice, takže otázkou volby, kontextu a tradice, nikoli důkazem., Definice se však nedělají náhodně; tyto volby jsou vázány naším používáním matematiky a zejména v tomto případě naší notací.“
Caldwell a Xiong začínají klasickými řeckými matematiky. Nepovažovali 1 za číslo stejným způsobem jako čísla 2, 3, 4 a tak dále. 1 byl považován za jednotku a číslo bylo složeno z více jednotek. Z tohoto důvodu, 1 nemohl být prime – nebylo to ani číslo. Arabský matematik al-Kindī z devátého století napsal, že to není číslo, a proto ani liché., Názor, že 1 byl stavebním kamenem pro všechna čísla, ale ne číslo samotné trvalo po staletí.
Vlámský matematik Simon Stevin v roce 1585 poukázal na to, že při provádění aritmetiky v základně 10 neexistuje žádný rozdíl mezi číslicí 1 a jinými číslicemi. Pro všechny záměry a účely se 1 chová tak, jak to dělá jakákoli jiná velikost. Ačkoli to nebylo okamžité, toto pozorování nakonec vedlo matematiky k léčbě 1 jako čísla, stejně jako jakékoli jiné číslo.
do konce 19. století někteří působiví matematici považovali 1 prvočíslo a někteří ne., Pokud mohu říci, nebyla to záležitost, která způsobila spor; pro nejoblíbenější matematické otázky nebyl rozdíl strašně důležitý. Caldwell a Xiong citovat G. H. Hardy jako poslední hlavní matematik, aby zvážila 1 být prime. (Výslovně jej zahrnul jako prvočíslo v prvních šesti vydáních kurzu v čisté matematice, které byly publikovány v letech 1908 až 1933. Aktualizoval definici v roce 1938, aby 2 nejmenší prime.)
článek zmiňuje, ale neponoří se do některých změn v matematice, které pomohly upevnit definici prime a vyloučení 1., Konkrétně jednou důležitou změnou byl vývoj množin čísel nad celá čísla, která se chovají poněkud jako celá čísla.
v nejzákladnějším příkladu se můžeme zeptat, zda je číslo -2 prvočíslo. Otázka se může zdát nesmyslná, ale může nás motivovat k tomu, abychom do slov vložili jedinečnou roli 1 v celých číslech. Nejneobvyklejším aspektem 1 v celých číslech je to, že má multiplikativní inverzní číslo, které je také celé číslo. (Multiplikativní inverzní číslo x je číslo, které při vynásobení X dává 1., Číslo 2 má multiplikativní inverzní množinu v množině racionálních nebo reálných čísel, 1/2: 1/2×2=1, ale 1/2 není celé číslo.) Číslo 1 je vlastní multiplikativní inverzní. Žádný jiný pozitivní celé číslo má multiplikativní inverzní v rámci množiny celých čísel.* Vlastnost mít multiplikativní inverzní se nazývá jednotka. Číslo -1 je také jednotka v sadě celých čísel: opět je to jeho vlastní multiplikativní inverzní. Jednotky nepovažujeme za primární ani kompozitní, protože je můžete znásobit určitými jinými jednotkami, aniž byste se hodně změnili., Pak můžeme myslet na číslo -2 jako ne tak odlišné od 2; z hlediska násobení, -2 je jen 2 krát jednotka. Pokud je 2 prvočíslo, -2 by mělo být také.
vytrvale jsem se vyhýbal definování prime v předchozím odstavci kvůli nešťastnému faktu o definici prime, pokud jde o tyto větší sady čísel: je to špatné! No, není to špatné, ale je to trochu kontraintuitivní, a kdybych byl královnou teorie čísel, nevybral bych si termín, aby měl definici, kterou dělá., V kladných celých číslech má každé prvočíslo p dvě vlastnosti:
číslo P nelze zapsat jako produkt dvou celých čísel, z nichž žádná není jednotkou.
kdykoli je produkt m×n dělitelný p, pak m nebo n musí být dělitelné p. (Chcete-li zjistit, co tato vlastnost znamená na příkladu, představte si, že m=10, n=6 a p=3.)
první z těchto vlastností je to, co bychom mohli představit jako způsob, jak charakterizovat prvočísla, ale bohužel, termín pro tuto vlastnost je ireducibilní. Druhá vlastnost se nazývá prime., V případě kladných celých čísel samozřejmě stejná čísla splňují obě vlastnosti. Ale to neplatí pro každou zajímavou sadu čísel.
jako příklad se podívejme na množinu čísel formuláře a + b√-5 nebo a + ib√5, Kde A A b jsou celá čísla a I je druhá odmocnina -1. Pokud vynásobíte čísla 1 + √-5 a 1 – √-5, dostanete 6. Samozřejmě získáte také 6, pokud vynásobíte 2 a 3, které jsou také v této sadě čísel, s b=0. Každé z čísel 2, 3, 1+√-5, a 1-√-5 nemůže být členěny dále a napsal jako součin čísla, které nejsou jednotek., (Pokud za to nepřijmete mé slovo, není příliš obtížné se přesvědčit.) Ale produkt (1+√-5)(1-√-5) je dělitelná 2 a 2 nerozděluje ani 1 + √-5 nebo 1 – √-5. (Opět si to můžete dokázat, pokud mi nevěříte.) Takže 2 je neredukovatelné, ale není prvočíslo. V této sadě čísel lze 6 rozdělit na neredukovatelná čísla dvěma různými způsoby.,
počet výše uvedené, které matematici by mohli volat Z (vyslovuje se „zee sousedí odmocnině z mínus pět“ nebo „zed sousedí odmocnině z mínus pět, pip, pip, nazdar“ v závislosti na tom, co se vám líbí chcete-li volat poslední písmeno abecedy), má dvě jednotky, 1 a -1. Existují však podobné množiny čísel, které mají nekonečný počet jednotek. Jako sad, jako je tento se stal předměty studia, to dává smysl, že definice jednotky, neredukovatelné, a premiér bude muset být pečlivě vymezen., Zejména, pokud jsou číselné množiny s nekonečným počtem jednotek, je to těžší a těžší přijít na to, co máme na mysli unikátní faktorizace čísel, pokud bychom objasnit, že jednotky nemohou být prvočíslo. Zatímco já nejsem historik matematiky nebo číslo teoretik a rád bych přečtěte si více o tom, jak přesně tento proces se konal před spekulovat dále, myslím, že to je jeden rozvoje Caldwell a Xiong zmiňují, že důvodem pro vyloučení 1 z prvočísel.,
jak se stává tak často, moje počáteční čistá a uklizená odpověď na to, proč jsou věci tak, jak jsou, jsou nakonec jen součástí příběhu. Díky mému příteli za položení otázky a pomoci mi dozvědět se více o chaotické historii primality.
*Tato věta byla upravena po zveřejnění objasnit, že žádné jiné kladné číslo má multiplikativní inverzní, že je také celé číslo.