V matematice, lineární aproximační vzorec je aproximace obecné funkce pomocí lineární funkce (přesněji řečeno, afinní funkce). Jsou široce používány v metodě konečných rozdílů k výrobě metod prvního řádu pro řešení nebo aproximaci řešení rovnic.
tato aproximace je rozhodující pro mnoho známých numerických technik, jako je Eulerova metoda, aby přibližovala řešení běžných diferenciálních rovnic., Myšlenka použití lineárních aproximací spočívá v blízkosti tečny k grafu funkce kolem bodu.
Vzorec
Tato lekce ukazuje, jak najít linearizace funkce a jak používat to, aby se lineární aproximace. Tato metoda se používá poměrně často v mnoha oblastech vědy a vyžaduje znalost trochu o počtu, konkrétně o tom, jak najít derivát.,
tangentní roviny a lineární aproximace
intuitivně se zdá jasné, že v rovině může být pouze jedna čára tečna ke křivce v bodě. V trojrozměrném prostoru však může být mnoho čar tečna k danému bodu. Pokud tyto čáry leží ve stejné rovině, určují tečnou rovinu v tomto bodě. Intuitivnější způsob, jak myslet na tečnou rovinu, je předpokládat, že povrch je v tomto bodě hladký (bez rohů). Potom tečna k povrchu v tomto bodě v jakémkoli směru nemá žádné náhlé změny sklonu, protože směr se mění hladce., Proto se v malém sousedství kolem bodu dotkne tangentní rovina povrchu pouze v tomto bodě.
tangentní čáry a linearizace
podívejme se na základní fakt o derivátech. Hodnota derivátu v určitém bodě, x = a, měří sklon křivky, y = f (x), v tomto bodě. Jinými slovy, f ‚ (a) = sklon tečny na a.,
Nyní, tečna je zvláštní, protože je to jeden řádek, který odpovídá směru křivky nejvíce, na konkrétní x-hodnoty, které vás zajímají. Všimněte si, jak blízko jsou hodnoty y funkce a tečna, když je x blízko bodu, kde tečna splňuje křivku.,
Tak, pokud je křivka y = f(x) je příliš komplikované pro práci s, a pokud jste jen zájem o hodnoty funkce u konkrétní bod, pak můžete zahodit funkce a stačí použít tečnu. Vlastně tu funkci nevyhazujte. . . možná to budeme potřebovat později!
Vzorec Pro Linearizace
Tak, jak si najít linearizace funkce f v bodě x = a?, Pamatujte si, že rovnice přímky může být stanovena, pokud víte, dvě věci:
- sklon přímky, m
- Jakýkoliv bod, že linka prochází, (a, b).
tyto informace zapojíme do tvaru bodového sklonu, což nám dává rovnici čáry. (To je jen algebra, lidi; zatím žádný počet.)
y-b = m (x–a)
ale v takových problémech nebudete mít hodnoty pro b nebo m. Místo toho je musíte najít sami., Za prvé m = f ‚(A), protože derivát měří sklon a za druhé b = f(A), protože původní funkce měří hodnoty y.
Lokální Lineární Aproximaci Vzorce
Lineární aproximace je proces hledání rovnice přímky, který je nejblíže odhad funkce pro danou hodnotu x. Lineární aproximace je také známý jako tečnu, sbližování, a to se používá ke zjednodušení vzorce spojené s goniometrické funkce, a to zejména v optice., Na nekonečně blízko pozorování, křivka se začíná podobat přímce, takže lineární aproximace může velmi úzce napodobovat funkci. Pro dvakrát diferencovatelnou, reálnou funkci f (x), 
, kde R2 je zbývající termín. Lineární aproximace je pak dána 
. Tato aproximace je ekvivalentní rovnici pro tečnou čáru na a.,
Aplikace Lineární Aproximace
Optika
Gaussova optika je technika v geometrické optiky, která popisuje chování světelných paprsků v optických systémů pomocí paraxiální aproximaci, ve které pouze paprsky, které tvoří malé úhly s optickou osou systému jsou považovány za. V této aproximaci mohou být trigonometrické funkce vyjádřeny jako lineární funkce úhlů. Gaussova optika se vztahuje na systémy, ve kterých jsou všechny optické povrchy buď ploché, nebo jsou částmi koule., V tomto případě, jednoduché explicitní vzorce mohou být uvedeny pro parametry zobrazovacího systému, jako je například ohnisková vzdálenost, zvětšení a jasu, z hlediska geometrických tvarů a materiálových vlastností základních prvků.
Perioda kmitání
doba houpačka jednoduchá gravitace, kyvadla závisí na jeho délce, místní síla gravitace, a v malé míře na maximální úhel kyvadla od svislé, θ0, nazývá amplituda. Je nezávislá na hmotnosti bobu., Skutečné období t jednoduchého kyvadla, doba potřebná k úplnému cyklu ideálního jednoduchého gravitačního kyvadla, může být napsána v několika různých formách.