Ein Ingenieur Freund von mir vor kurzem überraschte mich, indem Sie sagte, er war nicht sicher, ob die Zahl 1 wurde prime oder nicht. Ich war überrascht, weil 1 unter Mathematikern allgemein als nicht primär angesehen wird.
Die Verwirrung beginnt mit dieser Definition, die eine Person von „Primzahl“ geben könnte: Eine Primzahl ist eine positive ganze Zahl, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Die Zahl 1 ist durch 1 teilbar und durch sich selbst teilbar. Aber selbst und 1 sind nicht zwei verschiedene Faktoren., Ist 1 Prime oder nicht? Wenn ich die Definition von Primzahl in einem Artikel schreibe, versuche ich, diese Mehrdeutigkeit zu beseitigen, indem ich sage, dass eine Primzahl genau zwei verschiedene Faktoren hat, 1 und sich selbst, oder dass eine Primzahl eine ganze Zahl größer als 1 ist, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Aber warum zu diesen Längen gehen, um 1 auszuschließen?
Meine mathematische Ausbildung lehrte mich, dass der gute Grund dafür, dass 1 nicht als Primzahl angesehen wird, der grundlegende Satz der Arithmetik ist, der besagt, dass jede Zahl auf genau eine Weise als Produkt von Primzahlen geschrieben werden kann. Wenn 1 Primzahl wäre, würden wir diese Einzigartigkeit verlieren., Wir könnten 2 als 1×2 oder 1×1×2 oder 1594827×2 schreiben. Wenn Sie 1 von den Primzahlen ausschließen, wird dies geglättet.
Mein ursprünglicher Plan, wie dieser Artikel gehen würde, war, dass ich den Grundsatzsatzsatz der Arithmetik erklären und damit fertig werden würde. Aber es ist wirklich nicht so schwer, die Aussage des Grundsatzes der Arithmetik zu ändern, um das 1-Problem anzugehen, und schließlich hat die Frage meines Freundes meine Neugier geweckt: Wie haben Mathematiker diese Definition von Primzahl zusammengeführt?, Ein flüchtiger Blick auf einige Wikipedia-Seiten zur Zahlentheorie zeigt die Behauptung, dass 1 früher als Primzahl galt, aber nicht mehr ist. Aber ein Papier von Chris Caldwell und Yeng Xiong zeigt, dass die Geschichte des Konzepts etwas komplizierter ist. Ich schätzte dieses Gefühl vom Anfang ihres Artikels an: „Erstens, ob eine Zahl (insbesondere Einheit) eine Primzahl ist oder nicht, ist eine Frage der Definition, also eine Frage der Wahl, des Kontexts und der Tradition, keine Frage des Beweises., Definitionen werden jedoch nicht zufällig getroffen; Diese Entscheidungen sind an unsere Verwendung von Mathematik und insbesondere in diesem Fall an unsere Notation gebunden.“
Caldwell und Xiong beginnen mit klassischen griechischen Mathematikern. Sie betrachteten 1 nicht als Zahl auf die gleiche Weise wie 2, 3, 4 usw. 1 wurde als Einheit betrachtet,und eine Zahl bestand aus mehreren Einheiten. Aus diesem Grund konnte 1 nicht Primzahl sein — es war nicht einmal eine Zahl. Der arabische Mathematiker al-Kindī aus dem neunten Jahrhundert schrieb, dass es sich nicht um eine Zahl handele und daher nicht gerade oder ungerade., Die Ansicht, dass 1 der Baustein für alle Zahlen war, aber keine Zahl selbst, dauerte Jahrhunderte.
1585 wies der flämische Mathematiker Simon Stevin darauf hin, dass es bei der Arithmetik in Basis 10 keinen Unterschied zwischen der Ziffer 1 und anderen Ziffern gibt. In jeder Hinsicht verhält sich 1 so wie jede andere Größe. Obwohl es nicht sofort war, führte diese Beobachtung schließlich dazu, dass Mathematiker 1 wie jede andere Zahl als Zahl behandelten.Jahrhunderts betrachteten einige beeindruckende Mathematiker 1 Primzahl, andere nicht., Soweit ich sagen kann, war es keine Angelegenheit, die Streit verursachte; Für die beliebtesten mathematischen Fragen war die Unterscheidung nicht besonders wichtig. Caldwell und Xiong zitieren G. H. Hardy als den letzten großen Mathematiker, der 1 als Primzahl betrachtet. (Er nahm es ausdrücklich als Primzahl in die ersten sechs Ausgaben eines Kurses in reiner Mathematik auf, die zwischen 1908 und 1933 veröffentlicht wurden. Er aktualisierte die Definition 1938, um 2 zur kleinsten Primzahl zu machen.)
Der Artikel wird erwähnt, aber nicht Tauchen Sie ein in einige der änderungen, die in der Mathematik, die half, sich zu verfestigen die definition von prime und Ausschluss 1., Eine wichtige Änderung war insbesondere die Entwicklung von Zahlensätzen jenseits der ganzen Zahlen, die sich etwas wie ganze Zahlen verhalten.
Im einfachsten Beispiel können wir fragen, ob die Zahl -2 Primzahl ist. Die Frage mag unsinnig erscheinen, aber sie kann uns motivieren, die einzigartige Rolle von 1 in den ganzen Zahlen in Worte zu fassen. Der ungewöhnlichste Aspekt von 1 in den ganzen Zahlen ist, dass es eine multiplikative Inverse hat, die auch eine ganze Zahl ist. (Eine multiplikative Inverse der Zahl x ist eine Zahl, die, wenn sie mit x multipliziert wird, 1 ergibt., Die Zahl 2 hat eine multiplikative Inverse in der Menge der rationalen oder reellen Zahlen, 1/2: 1/2×2=1, aber 1/2 ist keine ganze Zahl.) Die Zahl 1 ist zufällig ihre eigene multiplikative Inverse. Keine andere positive Ganzzahl hat eine multiplikative Inverse innerhalb der Menge von ganzen Zahlen.* Die Eigenschaft, eine multiplikative Inverse zu haben, wird als Einheit bezeichnet. Die Zahl -1 ist auch eine Einheit innerhalb der Menge von ganzen Zahlen: Wiederum ist es eine eigene multiplikative Inverse. Wir betrachten Einheiten weder als Primzahl noch als zusammengesetzt, da Sie sie mit bestimmten anderen Einheiten multiplizieren können, ohne viel zu ändern., Wir können uns dann die Zahl -2 als nicht so verschieden von 2 vorstellen; Unter dem Gesichtspunkt der Multiplikation ist -2 nur 2 mal pro Einheit. Wenn 2 Primzahl ist, sollte -2 auch sein.
Ich habe es eifrig vermieden, die Primzahl im vorherigen Absatz zu definieren, weil die Definition der Primzahl bei diesen größeren Zahlensätzen unglücklich ist: Es ist falsch! Nun, es ist nicht falsch, aber es ist ein bisschen nicht intuitiv, und wenn ich die Königin der Zahlentheorie wäre, hätte ich nicht für den Begriff die Definition gewählt, die er hat., In den positiven ganzen Zahlen hat jede Primzahl p zwei Eigenschaften:
Die Zahl p kann nicht als Produkt zweier ganzer Zahlen geschrieben werden, von denen keine eine Einheit ist.
Wenn ein Produkt m×n durch p teilbar ist, muss m oder n durch p teilbar sein. (Um zu überprüfen, was diese Eigenschaft in einem Beispiel bedeutet, stellen Sie sich vor, dass m=10, n=6 und p=3.)
Die erste dieser Eigenschaften ist das, was wir uns als eine Möglichkeit vorstellen, Primzahlen zu charakterisieren, aber leider ist der Begriff für diese Eigenschaft irreduzibel. Die zweite Eigenschaft heißt Primzahl., Bei positiven ganzen Zahlen erfüllen natürlich die gleichen Zahlen beide Eigenschaften. Aber das gilt nicht für jeden interessanten Satz von Zahlen.
Betrachten wir als Beispiel die Menge der Zahlen der Form a+b√-5 oder a+ib√5, wobei a und b beide ganze Zahlen sind und i die Quadratwurzel von -1 ist. Wenn Sie die Zahlen 1+√-5 und 1-√-5 multiplizieren, erhalten Sie 6. Natürlich erhalten Sie auch 6, wenn Sie 2 und 3, die sich ebenfalls in diesem Zahlensatz befinden, mit b=0 multiplizieren. Jede der Zahlen 2, 3, 1+√-5 und 1-√-5 kann nicht weiter aufgeschlüsselt und als Produkt von Zahlen geschrieben werden, die keine Einheiten sind., (Wenn Sie mein Wort nicht dafür nehmen, ist es nicht allzu schwierig, sich selbst zu überzeugen.) Aber das Produkt (1+√-5)(1-√-5) ist durch 2 teilbar und 2 teilt weder 1+√-5 noch 1-√-5. (Noch einmal, Sie können es sich selbst beweisen, wenn Sie mir nicht glauben.) So 2 ist irreduzibel, aber es ist nicht Primzahl. In diesem Zahlensatz kann 6 auf zwei verschiedene Arten in irreduzible Zahlen einbezogen werden.,
Die obige Zahl, die Mathematiker Z nennen könnten (ausgesprochen „zee grenzt an die Quadratwurzel der negativen Fünf“ oder „zed grenzt an die Quadratwurzel der negativen Fünf, pip pip, Cheerio“, je nachdem, wie Sie den letzten Buchstaben des Alphabets nennen möchten), hat zwei Einheiten, 1 und -1. Aber es gibt ähnliche Zahlensätze, die eine unendliche Anzahl von Einheiten haben. Da Sets wie diese zu Untersuchungsobjekten wurden, ist es sinnvoll, dass die Definitionen von Einheit, irreduzibel und Primzahl sorgfältig abgegrenzt werden müssen., Insbesondere wenn es Zahlensätze mit einer unendlichen Anzahl von Einheiten gibt, wird es schwieriger herauszufinden, was wir unter eindeutiger Faktorisierung von Zahlen verstehen, es sei denn, wir klären, dass Einheiten keine Primzahl sein können. Obwohl ich kein Mathematikhistoriker oder Zahlentheoretiker bin und gerne mehr darüber lesen würde, wie genau dieser Prozess stattgefunden hat, bevor ich weiter spekuliere, denke ich, dass dies eine Entwicklung ist, auf die Caldwell und Xiong mit dem Ausschluss von 1 von den Primzahlen anspielen.,
Wie so oft ist meine anfängliche saubere und ordentliche Antwort, warum die Dinge so sind, wie sie sind, nur ein Teil der Geschichte. Vielen Dank an meinen Freund, dass er die Frage gestellt und mir geholfen hat, mehr über die chaotische Geschichte der Ursprünge zu erfahren.
*Dieser Satz wurde nach der Veröffentlichung bearbeitet, um zu verdeutlichen, dass keine andere positive Ganzzahl eine multiplikative Inverse hat, die auch eine Ganzzahl ist.