În matematică, o aproximare liniară formula este o aproximare a unui general funcția folosind o funcție liniară (mai precis, o afini funcție). Ele sunt utilizate pe scară largă în metoda diferențelor finite pentru a produce metode de prim ordin pentru rezolvarea sau aproximarea soluțiilor la ecuații.această aproximare este crucială pentru multe tehnici numerice cunoscute, cum ar fi metoda lui Euler de a aproxima soluțiile la ecuațiile diferențiale obișnuite., Ideea de a folosi aproximări liniare se bazează pe apropierea liniei tangente de graficul funcției în jurul unui punct.
Formula
Această lecție arată cum să găsească o liniarizare a unei funcții, și cum să-l folosească pentru a face o aproximare liniară. Această metodă este folosită destul de des în multe domenii ale științei și necesită cunoașterea unui pic despre calcul, în special, cum să găsești un derivat.,
planuri tangente și aproximări liniare
intuitiv, pare clar că, într-un plan, o singură linie poate fi tangentă la o curbă într-un punct. Cu toate acestea, în spațiul tridimensional, multe linii pot fi tangente la un anumit punct. Dacă aceste linii se află în același plan, ele determină planul tangent în acel moment. Un mod mai intuitiv de a gândi un plan tangent este să presupunem că suprafața este netedă în acel moment (fără colțuri). Apoi, o linie tangentă la suprafață în acel moment în orice direcție nu are schimbări abrupte în pantă, deoarece direcția se schimbă fără probleme., Prin urmare, într-un cartier destul de mic în jurul punctului, un plan tangent atinge suprafața doar în acel punct.
linii tangente și liniarizare
să trecem în revistă un fapt de bază despre derivați. Valoarea derivatului la un anumit punct, x = a, măsoară panta curbei, y = f (x), la acel punct. Cu alte cuvinte, f ‘ (a) = panta liniei tangente la a.,
Acum, linia tangentă este special pentru că este o linie care se potrivește cu direcția de curbă mai strânsă, la un anumit x-valoarea sunteți interesat în. Observați cât de apropiate sunt valorile y ale funcției și ale liniei tangente atunci când x se află în apropierea punctului în care linia tangentă întâlnește curba.,
deci, dacă curba y = f(x) este mult prea complicată pentru a lucra și dacă sunteți interesat doar de valorile funcției lângă un anumit punct, atunci puteți arunca funcția și puteți folosi doar linia tangentă. Ei bine, nu arunca de fapt funcția. . . s-ar putea să avem nevoie mai târziu!
Formula pentru Linearizare
Deci, cum găsiți linearizarea unei funcții f la un punct x = a?, Amintiți-vă că ecuația unei linii poate fi determinată dacă știți două lucruri:
- panta liniei, m
- orice punct unic prin care trece linia, (a, b).conectăm aceste bucăți de informații în forma punct-pantă, iar acest lucru ne oferă ecuația liniei. (Aceasta este doar algebra, oameni buni; nici un calcul încă.)
y – b = m(x–a)
dar, în probleme ca acestea, nu vi se vor da valori pentru b sau m. în schimb, trebuie să le găsiți singuri., În primul rând m = f ‘(a), deoarece derivatul măsoară panta și, în al doilea rând, b = f(a), deoarece funcția inițială măsoară valorile y.aproximarea liniară este procesul de găsire a ecuației unei linii care este cea mai apropiată estimare a unei funcții pentru o valoare dată de x. aproximarea liniară este cunoscută și sub denumirea de aproximare a liniei tangente și este utilizată pentru a simplifica formulele asociate funcțiilor trigonometrice, în special în optică., La o observație infinitezimală apropiată, o curbă începe să semene cu o linie dreaptă, astfel încât aproximarea liniară poate imita foarte mult funcția. Pentru o funcție de două ori diferențiabilă, cu valoare reală f (x),
, unde R2 este termenul restant. Aproximarea liniară, atunci, este dată de 
. Această aproximare este echivalentă cu ecuația pentru linia tangentă la a.,Aplicații De Aproximări Liniare
Optica
Gaussian optica este o tehnică în optica geometrice care descrie comportamentul razelor de lumină în sistemele optice cu ajutorul paraxial aproximare, în care doar razele care face unghiuri mici cu axa optică a sistemului, sunt luate în considerare. În această aproximare, funcțiile trigonometrice pot fi exprimate ca funcții liniare ale unghiurilor. Optica gaussiană se aplică sistemelor în care toate suprafețele optice sunt fie plane, fie sunt porțiuni ale unei sfere., În acest caz, formulele explicite simple pot fi date pentru parametrii unui Sistem imagistic, cum ar fi distanța focală, mărirea și luminozitatea, în ceea ce privește formele geometrice și proprietățile materiale ale elementelor constitutive.perioada de oscilație a unui pendul gravitațional simplu depinde de lungimea sa, de puterea locală a gravitației și, într-o mică măsură, de unghiul maxim pe care pendulul îl îndepărtează de verticala, θ0, numită amplitudine. Este independent de masa bobului., Adevărata perioadă T a unui pendul simplu, timpul necesar pentru un ciclu complet al unui pendul gravitațional simplu ideal, poate fi scris în mai multe forme diferite.