un prieten inginer de-al meu m-a surprins recent spunând că nu era sigur dacă numărul 1 era prim sau nu. Am fost surprins pentru că printre matematicieni, 1 este universal considerat ca non-prim.confuzia începe cu această definiție o persoană ar putea da de „prim”: un număr prim este un număr întreg pozitiv, care este divizibil doar de 1 și în sine. Numărul 1 este divizibil cu 1 și este divizibil de la sine. Dar în sine și 1 nu sunt doi factori distincți., Este 1 prim sau nu? Când scriu definiția primului într-un articol, încerc să elimin această ambiguitate spunând că un număr prim are exact doi factori distincți, 1 și el însuși, sau că un prim este un număr întreg mai mare decât 1, Care este divizibil doar cu 1 și el însuși. Dar de ce merge la aceste lungimi pentru a exclude 1?pregătirea mea Matematică M-a învățat că motivul bun pentru care 1 nu este considerat prim este teorema fundamentală a aritmeticii, care afirmă că fiecare număr poate fi scris ca produs al primelor într-un singur mod. Dacă 1 ar fi prim, am pierde acea unicitate., Am putea scrie 2 ca 1×2, sau 1×1×2, sau 1594827×2. Excluderea 1 din primele netezește asta.
planul meu inițial de modul în care acest articol ar merge a fost că mi-ar explica Teorema fundamentală de aritmetică și să fie făcut cu ea. Dar nu este atât de greu să modifici afirmația teoremei fundamentale a aritmeticii pentru a aborda problema 1 și, la urma urmei, întrebarea prietenului meu mi-a stârnit curiozitatea: cum s-au coagulat matematicienii asupra acestei definiții a primului?, O privire sumară în jurul unor pagini Wikipedia legate de teoria numerelor apare afirmația că 1 a fost considerat prim, dar nu mai este. Dar o lucrare de Chris Caldwell și Yeng Xiong arată istoria conceptului este un pic mai complicat. Am apreciat acest sentiment de la începutul articolului lor: „în primul rând, dacă un număr (în special unitatea) este un prim este o chestiune de definiție, deci o chestiune de alegere, context și tradiție, nu o chestiune de dovadă., Cu toate acestea, definițiile nu sunt făcute la întâmplare; aceste alegeri sunt legate de utilizarea noastră de matematică și, mai ales în acest caz, de notația noastră.Caldwell și Xiong încep cu matematicienii greci clasici. Ei nu au considerat că 1 este un număr în același mod în care 2, 3, 4 și așa mai departe sunt numere. 1 a fost considerată o unitate, iar un număr a fost compus din mai multe unități. Din acest motiv, 1 nu ar fi putut fi prim — nu a fost nici măcar un număr. Matematicianul Arab al-Kindī din secolul al IX-lea a scris că nu era un număr și, prin urmare, nici par sau impar., Punctul de vedere că 1 a fost piatra de temelie pentru toate numerele, dar nu un număr în sine a durat secole.în 1585, matematicianul Flamand Simon Stevin a subliniat că atunci când face aritmetică în baza 10, nu există nicio diferență între cifra 1 și orice alte cifre. Pentru toate intențiile și scopurile, 1 se comportă așa cum face orice altă magnitudine. Deși nu a fost imediat, această observație i-a determinat în cele din urmă pe matematicieni să trateze 1 ca un număr, la fel ca orice alt număr.până la sfârșitul secolului al XIX-lea, unii matematicieni impresionanți au considerat 1 prim, iar unii nu., Din câte îmi dau seama, nu a fost o problemă care a provocat conflicte; pentru cele mai populare întrebări matematice, distincția nu a fost extrem de importantă. Caldwell și Xiong îl citează pe G. H. Hardy ca ultimul matematician major care consideră că 1 este prim. (El a inclus-o în mod explicit ca prim în primele șase ediții ale unui curs de matematică pură, care au fost publicate între 1908 și 1933. El a actualizat definiția în 1938 pentru a face 2 cel mai mic prim.)
Articolul menționează, dar nu se aprofundează în unele dintre schimbările din matematică care au ajutat la solidificarea definiției prime și excluzând 1., Mai exact, o schimbare importantă a fost dezvoltarea de seturi de numere dincolo de numerele întregi care se comportă oarecum ca numere întregi.
în exemplul cel mai de bază, putem întreba dacă numărul -2 este prim. Întrebarea poate părea lipsită de sens, dar ne poate motiva să punem în cuvinte rolul unic al lui 1 în întregul număr. Cel mai neobișnuit aspect al lui 1 în numerele întregi este că are o inversă multiplicativă care este, de asemenea, un număr întreg. (Un invers multiplicativ al numărului x este un număr care, atunci când înmulțit cu x dă 1., Numărul 2 are o inversare multiplicativă în setul numerelor raționale sau reale, 1/2: 1/2×2=1, dar 1/2 nu este un număr întreg.) Numărul 1 se întâmplă să fie propriul său invers multiplicativ. Niciun alt număr întreg pozitiv nu are o inversare multiplicativă în cadrul setului de numere întregi.* Proprietatea de a avea un invers multiplicativ se numește a fi o unitate. Numărul -1 este, de asemenea, o unitate în setul de numere întregi: din nou, este inversul său multiplicativ. Nu considerăm că unitățile sunt fie prime, fie compuse, deoarece le puteți multiplica cu anumite alte unități fără a schimba prea mult., Ne putem gândi apoi la numărul -2 ca nu atât de diferit de 2; din punct de vedere al înmulțirii, -2 este doar de 2 ori o unitate. Dacă 2 este prim, -2 ar trebui să fie, de asemenea.am evitat cu asiduitate definirea prime în paragraful anterior din cauza unui fapt nefericit despre definiția prime atunci când vine vorba de aceste seturi mai mari de numere: este greșit! Ei bine, nu este greșit, dar este un pic contraintuitiv, și dacă aș fi fost regina teoriei numerelor, nu aș fi ales ca termenul să aibă definiția pe care o face., În numerele întregi pozitive, fiecare număr prim p are două proprietăți:
numărul p nu poate fi scris ca produs al două numere întregi, dintre care nici unul nu este o unitate.ori de câte ori un produs M×n este divizibil cu p, atunci m sau n trebuie să fie divizibil cu p. (pentru a verifica ce înseamnă Această proprietate pe un exemplu, imaginați-vă că m=10, n=6 și P=3.prima dintre aceste proprietăți este ceea ce am putea gândi ca o modalitate de a caracteriza numerele prime, dar, din păcate, termenul pentru acea proprietate este ireductibil. A doua proprietate se numește prime., În cazul numerelor întregi pozitive, desigur, aceleași numere satisfac ambele proprietăți. Dar acest lucru nu este valabil pentru fiecare set interesant de numere.de exemplu, Să analizăm setul de numere ale formei a + B√-5 sau a + ib√5, unde a și b sunt ambele numere întregi și i este rădăcina pătrată a -1. Dacă înmulțiți numerele 1 + √-5 și 1 – √-5, obțineți 6. Desigur, veți obține și 6 dacă înmulțiți 2 și 3, care se află și în acest set de numere, cu b=0. Fiecare dintre numerele 2, 3, 1 + √-5 și 1-√-5 nu poate fi defalcată în continuare și scrisă ca produs al numerelor care nu sunt unități., (Dacă nu luați cuvântul meu pentru asta, nu este prea greu să vă convingeți.) Dar produsul (1+√-5)(1-√-5) este divizibil cu 2, iar 2 nu împarte nici 1+√-5, nici 1-√-5. (Încă o dată, vă puteți dovedi dacă nu mă credeți.) Deci 2 este ireductibil, dar nu este prim. În acest set de numere, 6 pot fi luate în numere ireductibile în două moduri diferite.,
numărul stabilit mai sus, care matematicienii ar putea numi Z (pronunțat „zee alătura radical din minus cinci” sau „zed alătura radical din minus cinci, pip, pip, la revedere” în funcție de ceea ce vă place pentru a apela la ultima literă a alfabetului), are două unități, 1 și -1. Dar există seturi de numere similare care au un număr infinit de unități. Pe măsură ce seturi ca acesta au devenit obiecte de studiu, are sens că definițiile unității, ireductibile și prime ar trebui să fie delimitate cu atenție., În special, dacă există seturi de numere cu un număr infinit de unități, devine mai dificil să ne dăm seama ce înțelegem prin factorizarea unică a numerelor, cu excepția cazului în care clarificăm că unitățile nu pot fi prime. În timp ce eu nu sunt o matematica istoric sau un număr teoretician și-ar plăcea să citesc mai multe despre exact cum acest proces a avut loc înainte de a specula în continuare, cred că aceasta este una de dezvoltare Caldwell și Xiong aluzie la care a motivat excluderea de 1 de numere prime.,
așa cum se întâmplă atât de des, răspunsul meu inițial îngrijit și ordonat pentru motivul pentru care lucrurile sunt așa cum sunt sfârșite prin a fi doar o parte din poveste. Mulțumesc prietenului meu pentru că mi-a pus întrebarea și m-a ajutat să aflu mai multe despre istoria dezordonată a primalității.
*această propoziție a fost editată după publicare pentru a clarifica faptul că niciun alt număr întreg pozitiv nu are un invers multiplicativ care este și un număr întreg.