Oder: Wie vermeide ich eine Polynom-Long-Division, wenn ich Faktoren
finde Erinnern Sie sich, Division in Arithmetik gemacht zu haben?
„7 geteilt durch 2 gleich 3 mit einem Rest von 1“
Jeder Teil der Division hat Namen:
, die als Summe wie folgt umgeschrieben werden können:
Polynome
Nun, wir können auch Polynome teilen.,
f(x) ÷ d(x) = q(x) mit einem Rest von r(x)
Aber es ist besser, es als eine Summe wie folgt zu schreiben:
Wie in diesem Beispiel mit Polynom−Long Division:
Aber Sie müssen noch etwas wissen:
Der Grad von r(x) ist immer kleiner als als d(x)
Sagen wir, wir dividieren durch ein Polynom von Grad 1 (wie „x-3“), der Rest hat Grad 0 (mit anderen Worten eine Konstante wie „4“).,teilen Sie f(x) durch das einfache Polynom x−c wir erhalten:
f(x) = (x−c)·q(x) + r(x)
x−c ist Grad 1, also muss r(x) Grad 0 haben, also ist es nur eine Konstante r :
f(x) = (x−c)·q(x) + r
Jetzt sehen Sie, was passiert, wenn x gleich c ist:
So erhalten wir dies:
Der Restsatz:
Wenn wir ein Polynom f(x) durch x−c teilen, ist der Rest f(c)
Um den Rest nach der Division durch x-c zu finden, müssen wir keine Division durchführen:
Berechnen Sie einfach f(c).,
Lassen Sie uns das in der Praxis sehen:
Der Faktorsatz
Jetzt …
Was ist, wenn wir f(c) berechnen und es 0 ist?
… das bedeutet, der Rest ist 0, und …
… (x−c) muss ein Faktor des Polynoms!
Das sehen wir beim Teilen ganzer Zahlen. Zum Beispiel 60 ÷ 20 = 3 ohne Rest. Also muss 20 ein Faktor von 60 sein.,
Beispiel: x2-3x-4
f(4) = (4)2-3(4)-4 = 16-12-4 = 0
also (x−4) muss ein Faktor von x2−3x−4 sein
Und so haben wir:
Den Faktorsatz:
Wenn f(c)=0 dann ist x−c ein Faktor von f(x)
Und umgekehrt auch:
Wenn x−c ein Faktor von f(x) ist, dann ist f(c)=0
Why Is This Useful?
Zu wissen, dass x-c ein Faktor ist, ist dasselbe wie zu wissen, dass c eine Wurzel ist (und umgekehrt).,
Der Faktor “ x-c „und die Wurzel“ c “ sind dasselbe
Kennen einen und wir kennen den anderen
Zum einen können wir schnell überprüfen, ob (x−c) ein Faktor des Polynoms ist.
Zusammenfassung
Der Restsatz:
- Wenn wir ein Polynom f(x) durch x−c teilen, ist der Rest f(c)
Der Faktorsatz:
- Wenn f(c)=0 dann ist x−c ein Faktor von f(x)
- Wenn x−c ein Faktor von f(x) ann f(c)=0