Ramanujan: der Traum von der möglich

„ich habe nicht getreten, die durch die konventionelle regelmäßigen Kurs gefolgt, in ein Studium, aber ich bin striking out a new path for myself. „

Srinivasa Ramanujan (1887 – 1920).

Das hat Srinivasa Ramanujan in einem Brief geschrieben, der sich im Januar 1913 dem berühmten und geschätzten britischen Mathematiker G. H. Hardy vorstellte., Ramanujan war ein Autodidakt Mathematiker als Angestellter in einem Postamt in Indien arbeiten, als er Hardy an der University of Cambridge schrieb. Was als nächstes geschah, wurde zu einer inspirierenden Geschichte darüber, wie ein ungeübtes Genie als einer der größten mathematischen Köpfe seiner Zeit akzeptiert werden konnte. März 1914 segelte Ramanujan nach England, um eine der faszinierendsten Kollaborationen in der Geschichte der Mathematik zu beginnen.,

„Ramanujan ist ein Vorbild für das Mögliche“, sagt Ken Ono, der Asa Griggs Candler Professor für Mathematik und Informatik an der Emory University und auch Berater und Associate Producer des jüngsten Films über Ramanujan, Den Mann, der Unendlichkeit kannte. „dass Sie aus unglaublich schwierigen Bedingungen oder Umständen kommen und wichtig werden können. Aber er brauchte Hilfe, er brauchte Hardy. Und Hardy war nicht der perfekte Mentor, er war ein Curmudgeon, er mochte keine Menschen. Aber durch seine Hilfe ist das alles passiert.,“

Als Ramanujan in England ankam, arbeitete er mit Hardy an einer Reihe mathematischer Themen. Er kam mit wenig formaler Ausbildung, und hatte seine ganz eigene Art des Schreibens Mathematik entwickelt, dass andere Mathematiker noch nie zuvor gesehen hatte.

Das Zertifikat von Ramanujans Nominierung zum Fellow der Royal Society. Klicken Sie hier, um ein größeres Bild zu sehen.

„Ramanujan hat nicht die Notation verwendet, die alle anderen auf der Welt verwendet haben“, sagt Ono. „Als er hier in England ankam, wusste er nichts von moderner Mathematik., Er hat die ganze Zeit Fehler gemacht.“Ramanujan lernte schnell viel formale Mathematik in Cambridge und ging von einem Amateur zum Schreiben von Weltklasse-Mathematikarbeiten. „Sehr schnell, innerhalb von ein oder zwei Jahren, wurde er formell ausgebildet. Er war sehr schlau, damit er schnell aufholen konnte. Die Papiere, die er hier schrieb, nach jedem professionellen Standard, waren Weltklasse-Papiere. Das ist also auch ein Beweis dafür, wie begabt er war.,“

Eines dieser mit Hardy geschriebenen Papiere erstaunte die mathematische Gemeinschaft, da es eine Möglichkeit gab, Zahlen zuverlässig zu berechnen, die Mathematikern seit Jahrhunderten entgangen waren – Partitionszahlen. Dieses Papier war eines von denen, die in seiner Nominierung zitiert wurden, um als Fellow der Royals Society gewählt zu werden, eine hohe Ehre für jeden Wissenschaftler. Seine Nominierung wurde von einigen der großen Mathematiker des Tages unterzeichnet: darunter J. E. Littlewood, Alfred Whitehead, zusammen mit Hardy und vielen anderen., Ramanujan wurde am 2. Mai 1918 im Alter von nur 30 Jahren zum Fellow der Royal Society gewählt, einem der jüngsten Fellows, die jemals gewählt wurden. Wir haben mit Ono über die bemerkenswerten mathematischen Beiträge von Ramanujan bei der Feier dieses hundertjährigen Bestehens der Royal Society gesprochen,die er mitorganisiert hat (Sie können hier einen Podcast des Interviews hören).

Partitionsnummern

Das Konzept der Partitionsnummern ist recht einfach. Sie können jede natürliche Zahl als Summe natürlicher Zahlen schreiben., id=“19b89d332a“>

Die Partitionsnummer einer Zahl ist genau die Anzahl der Möglichkeiten, wie sie als Summe natürlicher Zahlen geschrieben werden kann (ohne sich Gedanken über die Reihenfolge zu machen, in der sie hinzugefügt werden)., Wie wir gerade gesehen haben, und .

Aufschreiben und Zählen der Anzahl der Möglichkeiten, wie Sie eine Zahl schreiben können als Summe scheint einfach, aber in der Tat wird es schnell außer Kontrolle geraten, da groß wird. Sie können wahrscheinlich selbst herausfinden, dass und , aber gehen Sie weiter und Sie werden schnell kein Papier mehr haben. Die folgende Tabelle zeigt die Partitionsnummern bis , die bereits überraschend groß sind.,>4

Looking at the graph of for up to suggests the partition number grows exponentially with .,

Partitionsnummern für n von 1 bis 1o 10.

Diese Tatsache veranlasste Mathematiker zu der Frage, ob es eine Möglichkeit gibt, zu berechnen, ohne jede Schreibweise explizit aufschreiben und zählen zu müssen als Summe. Bei der Untersuchung dieser Frage arbeiteten Hardy und Ramanujan mit dem beeindruckenden „Human Calculator“ Percy MacMahon, der Tabellen mit Partitionszahlen für sehr viele Zahlen berechnete., Obwohl diese Tabellen auf den ersten Blick ohne Reim oder Grund erscheinen, bemerkte Ramanujan faszinierende Muster in ihnen. Er entdeckte und bewies später, dass die Partitionsnummer für , , , …, oder für eine beliebige Anzahl der Form ist immer teilbar durch Ebenso ist die Partitionsnummer für eine beliebige Anzahl der Form teilbar durch , und für eine beliebige Anzahl der Form ist teilbar durch . Diese Muster sind jetzt berühmt als Ramanujans Kongruenzen.

Was Ramanujan das Royal Society Fellowship einbrachte, war die asymptotische Formel für die Trennungszahl, die er zusammen mit Hardy fand., Die Formel gibt nicht den genauen Wert von , kommt aber sehr nahe. Und wenn größer wird, wird der Unterschied zwischen und der asymptotischen Formel willkürlich klein.,

Die Formel lautet

Hardy und Ramanujan überprüften den Wert, der von der rechten Seite ihrer Formel angegeben wurde, anhand der Werte vonwie von ihrem Freund MacMahon berechnet:

Wie Sie sehen können, erfüllt die Formel das, was wir versprochen haben. „Es gilt für alle ., Sie können einfach für und Sie erhalten im Grunde die Antwort zurück“, sagt Ono. „Jemand muss ziemlich verrückt schlau sein, um eine Abkürzung herauszufinden, damit man nie zählen musste.“

“ galt damals als undurchdringliches Problem. Ich bin mir ziemlich sicher, dass diese Formel allein den größten Teil des Zitats für seine Wahl bildete“, sagt Ono. „Aber machen Sie keinen Fehler, dass die Formel jetzt ein sehr kleiner Teil dessen ist, was zu einem Vermächtnis geworden ist.“

Ken Ono.,

Und das Vermächtnis ist in der Tat beeindruckend: Ramanujans Arbeit ist heute in so unterschiedlichen Bereichen wie Informatik, Elektrotechnik und Physik sowie natürlich Mathematik relevant. „Ramanujans Formeln haben Einblicke in Theorien gegeben, die Ramanujan wahrscheinlich nicht hätte artikulieren können“, sagt Ono. „Theorien, die niemand brauchte, bis Sie Sie brauchten. Zum Beispiel nutzt einige von Ramanujans Mathematik. Niemand wusste, dass Schwarze Löcher etwas zu studieren waren, als Ramanujan lebte., Er hatte jedoch bereits einige der ersten Formeln entwickelt, mit denen ihre Eigenschaften erklärt werden sollten. Was erstaunlich ist, ist, dass Ramanujan dies mehrere Dutzend Mal für uns getan hat.“

“ Woher kommt dieses Genie? Ich benutze das Wort Genie nicht sehr leicht, aber machen Sie keinen Fehler — wenn Sie Formeln aufschreiben, die Sie aus irgendeinem Grund schön und wichtig finden, und niemand weiß, warum diese Formeln bis Jahrzehnte später wichtig sind, ist das etwas ganz Spirituelles.,“

Ono ist auch Leiter des Spirit of Ramanujan-Programms, das aufstrebende Ingenieure, Mathematiker und Wissenschaftler unterstützt, insbesondere diejenigen, denen wie Ramanujan die traditionelle institutionelle Unterstützung fehlt. Mehr zum Programm finden Sie hier.

Über diesen Artikel

Rachel Thomas ist Redakteurin von Plus. Sie interviewte Ken Ono bei der Feier der Royal Society zum hundertsten Jahrestag von Ramanujans Wahl als Fellow der Royal Society. Sie können hier einen Podcast des Interviews hören.