Poisson-Verteilungsformel

Poisson-Verteilung ist eigentlich eine wichtige Art von Wahrscheinlichkeitsverteilungsformel. Wie in der Binomialverteilung werden wir die Anzahl der Versuche oder die Erfolgswahrscheinlichkeit auf einer bestimmten Spur nicht kennen. Die durchschnittliche Anzahl der Erfolge wird für ein bestimmtes Zeitintervall angegeben. Die durchschnittliche Anzahl der Erfolge wird als „Lambda“ bezeichnet und mit dem Symbol \(\lambda\) bezeichnet. In diesem Artikel werden wir die Poisson-Verteilungsformel anhand von Beispielen diskutieren. Lasst uns anfangen zu lernen!,

Poisson-Verteilungsformel

Konzept der Poisson-Verteilung

Der französische Mathematiker Siméon-Denis Poisson entwickelte diese Funktion 1830. Dies wird verwendet, um zu beschreiben, wie oft ein Spieler aus einer großen Anzahl von Versuchen ein selten gewonnenes Glücksspiel gewinnen kann.

Die Zufallsvariable Poisson folgt den folgenden Bedingungen:

1. Die Anzahl der Erfolge in zwei disjunkten Zeitintervallen ist unabhängig.,
2. Die Erfolgswahrscheinlichkeit während eines gegebenen kleinen Zeitintervalls ist proportional zur gesamten Länge des Zeitintervalls.

Neben den disjunkten Zeitintervallen gilt die Zufallsvariable Poisson auch für disjunkte Bereiche des Raums.

Einige Anwendungen der Poisson-Verteilung sind wie folgt:

• Die Zahl der Todesfälle durch Pferdetritte in der preußischen Armee.
• Geburtsfehler und genetische Mutationen.
• Seltene Krankheiten wie Leukämie, weil sie sehr ansteckend ist und daher vor allem in Rechtsfällen nicht unabhängig ist.
• Autounfall Vorhersage auf Straßen.,
• Verkehrsfluss und der ideale Spaltabstand zwischen Fahrzeugen.
• Die Anzahl der auf einer Seite eines Buches gefundenen Tippfehler.
• Haare in McDonald ‚ s Hamburgern gefunden.
• Die Ausbreitung eines vom Aussterben bedrohten Tieres in Afrika.
• Ausfall einer Maschine, in einem Monat.

Formel für die Poisson-Verteilung

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Poisson-Zufallsvariablen nehmen wir an X. Sie repräsentiert die Anzahl der Erfolge, die in einem bestimmten Zeitintervall auftreten, wird durch die Formel gegeben:

\(\displaystyle{ P }{\left ({ X }\right )}=\frac {{e }^{-\mu}\mu^{ x }}}{{{ x }!,}} \)

wobei

\(\displaystyle{x}={0},{1},{2},{3},…\)

\(\displaystyle{e}={2.71828}\)

\(\mu\)= mittlere Anzahl von Erfolgen im angegebenen Zeitintervall oder Raumbereich.

Mittelwert und Varianz der Poisson-Verteilung:

If \(\mu\) ist die durchschnittliche Anzahl von Erfolgen, die in einem bestimmten Zeitintervall oder einer bestimmten Region in der Poisson-Verteilung auftreten. Dann sind der Mittelwert und die Varianz der Poisson-Verteilung beide gleich \(\mu\).,

Daher

E(X) = \(\mu\)

und

V(X) = \(\sigma^2 = \mu\)

Denken Sie daran, dass in einer Poisson-Verteilung nur ein Parameter \(\mu\) benötigt wird, um die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses zu bestimmen.

Einige gelöste Beispiele für Sie

Beispiel-1: Einige Fahrzeuge passieren eine Kreuzung auf einer stark befahrenen Straße mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 300 pro Stunde.

1. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass keiner in einer bestimmten Minute vergeht.
2. Was ist die erwartete Anzahl von Passagen in zwei Minuten?,
3. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese erwartete Zahl, die oben gefunden wurde, tatsächlich in einem bestimmten Zeitraum von zwei Minuten durchläuft.

Lösung: Zuerst werden wir berechnen,

Die durchschnittliche anzahl von autos pro minute ist:

\(\displaystyle\mu = \frac{300}{{60}}\)

\(\displaystyle\mu\) = 5

(a)Anwenden der Formel:

\(\displaystyle{P}{\left ({X }\right )}=\frac{{{ e }^{-\mu }\mu^{x}}}{{{x}!}} \)

– \(\displaystyle{ P }{\left({ x }_{{ 0 }}\right)}=\frac{{{e}^{ -{{5}}}{5}^{0}}}{{{0}!}}={ 6.,7379 }\zeiten{10}^{ -{{3}}} \)

(b) Erwartete Zahl alle 2 Minuten = E (X) = 5 × 2 = 10

(c) Jetzt haben wir mit \(\mu\) = 10:

\(\displaystyle{ P }{\left ({ x }_{{ 10 }} \ right)}=\frac {{e}^{ -{{10}}}{10}^{10}}}{{{10}!}}={ 0.12511 }\)