twierdzenie o pozostałościach i twierdzeniu o czynnikach

lub: jak uniknąć długiego podziału wielomianu przy znajdowaniu czynników

Czy pamiętasz, jak robiłeś dzielenie w arytmetyce?

„7 podzielone przez 2 równa się 3 z pozostałą częścią 1”

każda część podziału ma nazwy:

które można przepisać jako sumę w następujący sposób:

wielomiany

cóż, możemy również podzielić wielomiany.,

f(x) ÷ D(x) = q(x) z pozostałą częścią r(x)

ale lepiej jest zapisać go jako sumę w następujący sposób:

jak w tym przykładzie używając wielomianu Long Division:

ale musisz wiedzieć jeszcze jedno:

powiedzmy, że dzielimy przez wielomian stopnia 1 (np. „x−3”), reszta będzie miała stopień 0 (innymi słowy stałą, np. „4”).,podziel f(x) przez prosty wielomian x−c otrzymujemy:

f(x) = (x−c)·q(x) + R(x)

x−C jest stopniem 1, więc r(x) musi mieć stopień 0, więc jest to tylko jakaś stała r :

f(x) = (X−c)·q(x) + r

teraz zobacz, co się stanie, gdy mamy x równe c:

tak więc otrzymujemy:

aby znaleźć resztę po podzieleniu przez x-c nie musimy robić żadnego podziału:

wystarczy obliczyć f(c).,

zobaczmy to w praktyce:

twierdzenie o współczynniku

teraz …

widzimy to podczas dzielenia liczb całkowitych. Na przykład 60 ÷ 20 = 3 bez reszty. Więc 20 musi być czynnikiem 60.,

i tak mamy:

dlaczego jest to przydatne?

wiedząc, że X−c jest czynnikiem jest tym samym, co wiedząc, że c jest korzeniem (i vice versa).,

Po pierwsze, oznacza to, że możemy szybko sprawdzić, czy (x−c) jest czynnikiem wielomianu.

podsumowanie