od 1970 roku model wyceny opcji opracowany przez Roberta Mertona, Myrona Scholesa i Fishera Blacka już istnieje i do tej pory jest również stosowany w praktyce do obliczania wartości opcji. Od tego czasu model wielokrotnie przechodził zmiany, ale pozostał mniej więcej taki sam w swojej podstawowej konstrukcji., Model trzech naukowców okazał się nawet tak udany, że Merton i Scholes otrzymali za niego nagrodę Nobla w dziedzinie ekonomii w 1997 roku. Black zmarł w 1995 roku. Chociaż model jest poprawnie nazywany modelem Black-Scholes-Merton, w praktyce Merton nie jest już wspomniany, a dla uproszczenia prawie wszystkie podręczniki, praktyki i naukowcy nazywają model modelem Black-Scholes.
Model Black Scholes jest z natury bardzo podobny do znanego nam już dwumianowego modelu drzewa., Jednak tutaj segmenty czasu są podzielone przez nieskończoną liczbę sub-segmentów. Sekcje są tak małe, że łączą się ze sobą. W ten sposób rozwija się system czasu ciągłego (ang. „continuous time system”). continuous-time model). Model Black Scholes to ciągły model dwumianowy.
podstawowe założenia w modelu Black Scholes
• opcja w stylu europejskim.
* brak dywidend lub innych przepływów pieniężnych w okresie ważności.
* brak kosztów transakcyjnych.,
• rozkład normalny: zwrot z aktywów bazowych jest normalny.
• stopa procentowa wolna od ryzyka jest znana i stała przez cały okres obowiązywania opcji.
• zmienność (szerokość wahań cen) instrumentu bazowego jest znana i stała przez cały okres obowiązywania opcji.
wyprawa do stałej stopy procentowej (ang. continuous compounding), logarytm i logarytm naturalny
Załóżmy, że zabezpieczenie jest dziś warte 10 euro. Rok później wartość papieru wartościowego wzrosła do 11 euro, czyli o 10%., Jeśli jednak jest to wzrost wartości, to znaczy ten dochód, procent na stałe, wówczas ten zwrot jest obliczany za pomocą logarytmu naturalnego. Ten logarytm naturalny jest oznaczony w matematyce za pomocą ln. W naszym przykładzie wydajność wyniesie ln (1,10)=0,0953, co odpowiada 9,53%. Jeśli te stale procentowe Zwroty są normalnie rozłożone, nazywa się to logarytmicznie rozłożoną rentownością. Model Black Scholes działa z tymi rozkładami logarytmicznymi!,>
wartość parametru Call: \( c=S_{0}*N(d_{1})-ke^{-R^{c}T}N(d_{2}) \)
wartość parametru Put: \( p=Ke^{-R^{c}t}\left-s_{0}\left \)
gdzie \( d_{1}=\frac{ln(S_{0}/K)+\leftt}{\Sigma\sqrt{T}} \)
i \( d_{2}=D_{1}-\Sigma\sqrt{t} \)
\ (S_{0}\) to cena sygnału bazowego w momencie \( T_{0} \)
c to cena wywołania
p to cena put
x – uderzenie opcji
\ (r^{c}\) to stopa procentowa wolna od ryzyka ustalona na stałe
t to okres przed wygaśnięciem opcji reprezentowany w częściach roku (np.,B. 1 miesiąc = 1/12, 1 dzień = 1/365, ect.)
σ („Sigma”) jest zmiennością, więc roczne odchylenie standardowe dochodu aktywów bazowych
\( σ^{2}\) jest wariancją dochodu aktywów bazowych
ln jest logarytmem naturalnym
E jest liczbą Eulera (e jest podstawą logarytmu naturalnego i jeśli jest to nieskończona liczba zaokrąglona, wynosi 2,71828)
N(d) jest zawartością obszary poniżej krzywej normalnie rozłożonej. Wartość N (d) można znaleźć w tabelach standardowego rozkładu normalnego., Tabelę można znaleźć w dowolnym podręczniku statystycznym, dowolnym oprogramowaniu opcji lub w Wikipedii w sekcji „standardowa tabela rozkładu normalnego”.
Jak widać z samej formuły, potrzebujemy następujących zmiennych do obliczenia naszych cen opcji:
* cena instrumentu bazowego
• Cena uderzenia
* Termin do wykonania naszej opcji
• stopa procentowa wolna od ryzyka
* zmienność (odchylenie standardowe) instrumentu bazowego
są one skracane z tak zwanymi „Grekami”.,
źródła informacji dla zmiennych
ale skąd teraz bierzemy wartości dla każdej zmiennej? Najłatwiej to zrobić każdemu, kto ma bezpośredni dostęp do systemu informacyjnego, takiego jak Reuters lub Bloomberg. Ale ponieważ systemy te są bardzo drogie, Nie dotyczy to wszystkich.
innym, w większości publicznie dostępnym źródłem są Giełdy Papierów Wartościowych i rynku kontraktów terminowych. Większość giełd publikuje dane z opóźnieniem czasowym na swoich stronach internetowych. Z drugiej strony DANE w czasie rzeczywistym sami sprzedają Reuters, Bloomberg i Co., Do czystego ćwiczenia, przybliżonego oszacowania, a także późniejszej kontroli cen, wystarczą dane czasowe (zwykle 15 minut, ale niektóre giełdy podają swoje dane tylko na dzień opóźnienia cenowego). Jednak aby działać w większym stylu, dane z opóźnieniem czasowym nie są już idealne.
na giełdzie zawsze znajdziesz cenę instrumentu bazowego, którego koniecznie potrzebujesz jako ważnej zmiennej.
Jeśli opcje są już przedmiotem obrotu na giełdach kontraktów futures na ich aktywa bazowe, możesz tam zobaczyć niejawną zmienność opcji., Następnie użyj tej zmienności, ponieważ wskazuje ona, w jaki sposób profesjonalni animatorzy rynku dużych banków inwestycyjnych widzą szerokość wahań cen aktywów bazowych właśnie dla tej opcji. Niejawna ta zmienność jest nazywana, ponieważ nigdzie nie można jej odczytać bezpośrednio, ale „przeliczona” tylko z opcji będących przedmiotem obrotu.
zmienność niejawna, podobnie jak zmienność historyczna aktywów bazowych, ciągle się zmienia. Przy każdej aktualizacji ceny należy również dostosować zmienność.,
Jeśli Twoje aktywa bazowe nie handlują opcjami na rynku finansowym, powinieneś sam przyjąć założenia dotyczące zmienności. Punktem odniesienia dla Ciebie jest historyczna zmienność aktywów bazowych, którą możesz obliczyć samodzielnie lub, jeśli masz szczęście, już obliczona dla ciebie przez giełdę na podstawie szeregów czasowych danych cenowych. Ale pamiętaj, aby wybrać rozsądny okres! Następnie nadal musisz dokonać korekt, które odzwierciedlają Twoje oczekiwania na przyszłość(tj., Brzmi to łatwiej niż w rzeczywistości, ponieważ nikt nie zna przyszłości i dlatego będziesz musiał stale dostosowywać.