w matematyce liniowa formuła aproksymacji jest przybliżeniem ogólnej funkcji za pomocą funkcji liniowej (dokładniej funkcji afinicznej). Są one szeroko stosowane w metodzie różnic skończonych do produkcji metod pierwszego rzędu do rozwiązywania lub przybliżania rozwiązań równań.
to przybliżenie jest kluczowe dla wielu znanych technik numerycznych, takich jak metoda Eulera do przybliżania rozwiązań zwykłych równań różniczkowych., Idea zastosowania aproksymacji liniowych opiera się na bliskości linii stycznej do wykresu funkcji wokół punktu.
formuła
Ta lekcja pokazuje, jak znaleźć linearyzację funkcji i jak jej użyć do uzyskania liniowej aproksymacji. Metoda ta jest dość często stosowana w wielu dziedzinach nauki i wymaga wiedzy o rachunku różniczkowym, w szczególności o tym, jak znaleźć pochodną.,
płaszczyzny styczne i Aproksymacje liniowe
intuicyjnie wydaje się jasne, że w płaszczyźnie tylko jedna linia może być styczna do krzywej w punkcie. Jednak w przestrzeni trójwymiarowej wiele linii może być stycznych do danego punktu. Jeśli linie te leżą w tej samej płaszczyźnie, wyznaczają płaszczyznę styczną w tym punkcie. Bardziej intuicyjnym sposobem myślenia o płaszczyźnie stycznej jest założenie, że powierzchnia jest gładka w tym punkcie (bez narożników). Następnie linia styczna do powierzchni w tym punkcie w dowolnym kierunku nie ma żadnych nagłych zmian nachylenia, ponieważ kierunek zmienia się płynnie., W związku z tym, w wystarczająco małym sąsiedztwie wokół punktu, płaszczyzna styczna dotyka powierzchni tylko w tym punkcie.
linie styczne i linearyzacja
przejrzyjmy podstawowy fakt o pochodnych. Wartość pochodnej w określonym punkcie, x = a, mierzy nachylenie krzywej, y = f (x), w tym punkcie. Innymi słowy, f '(a) = nachylenie linii stycznej Przy a.,
teraz, linia styczna jest specjalna, ponieważ jest to jedna linia, która najbardziej pasuje do kierunku krzywej, przy określonej wartości X są zainteresowani. Zauważ, jak blisko są wartości y funkcji i linii stycznej, gdy x znajduje się w pobliżu punktu, w którym linia styczna styka się z krzywą.,
tak więc, jeśli krzywa y = f (x) jest zbyt skomplikowana do pracy i jeśli interesują Cię tylko wartości funkcji w pobliżu określonego punktu, możesz wyrzucić funkcję i po prostu użyć linii stycznej. Nie odrzucaj tej funkcji. . . może nam się przydać później!
wzór na linearyzację
Jak więc znaleźć linearyzację funkcji f w punkcie x = a?, Pamiętaj, że równanie linii można określić, jeśli wiesz dwie rzeczy:
- nachylenie linii, m
- dowolny pojedynczy punkt, przez który przechodzi linia, (a, b).
łączymy te fragmenty informacji do postaci punkt-nachylenie, a to daje nam równanie linii. (To tylko algebra, ludzie; jeszcze nie ma rachunku.)
y-b = m (x–a)
ale w takich problemach nie otrzymasz wartości dla b lub m. zamiast tego musisz je znaleźć samodzielnie., Po pierwsze m =f '(a), ponieważ pochodna mierzy nachylenie, a po drugie, b = f (a), ponieważ funkcja pierwotna mierzy y-wartości.
lokalna Aproksymacja liniowa wzór
aproksymacja liniowa jest procesem znajdowania równania linii, która jest najbliższą estymacją funkcji dla danej wartości x. aproksymacja liniowa jest również znana jako aproksymacja linii stycznej i jest używana do uproszczenia wzorów związanych z funkcjami trygonometrycznymi, szczególnie w optyce., Przy infinitezymalnie bliskich obserwacjach krzywa zaczyna przypominać linię prostą, więc aproksymacja liniowa może bardzo ściśle naśladować funkcję. Dla dwukrotnie różniczkowalnej funkcji o wartości rzeczywistej f (x), 
, gdzie R2 jest terminem pozostałym. Przybliżenie liniowe jest zatem podane przez 
. Przybliżenie to jest równoważne równaniu dla linii stycznej na a.,
zastosowania przybliżeń liniowych
Optyka
Optyka Gaussa jest techniką w optyce geometrycznej, która opisuje zachowanie promieni świetlnych w układach optycznych za pomocą przybliżenia paraxialnego, w którym rozważane są tylko promienie, które tworzą małe kąty z osią optyczną układu. W tym przybliżeniu funkcje trygonometryczne można wyrazić jako funkcje liniowe kątów. Optyka Gaussa odnosi się do układów, w których wszystkie powierzchnie optyczne są albo płaskie, albo są częściami kuli., W tym przypadku można podać proste, jednoznaczne wzory dla parametrów układu obrazowania, takich jak odległość ogniskowa, powiększenie i jasność, pod względem kształtów geometrycznych i właściwości materiałowych elementów składowych.
okres oscylacji
okres obrotu prostego wahadła grawitacyjnego zależy od jego długości, lokalnej siły grawitacji i w niewielkim stopniu od maksymalnego kąta odchylenia wahadła od pionu, θ0, zwanego amplitudą. Jest niezależna od masy bobu., Prawdziwy okres t wahadła prostego, czas potrzebny na pełny cykl idealnego prostego wahadła grawitacyjnego, może być zapisany w kilku różnych formach.