mój przyjaciel inżynier zaskoczył mnie ostatnio mówiąc, że nie był pewien, czy numer 1 jest liczbą pierwszą, czy nie. Byłem zaskoczony, ponieważ wśród matematyków, 1 jest powszechnie uważany za nie-prime.
zamieszanie zaczyna się od tej definicji, którą osoba może podać z „liczby pierwszej”: liczba pierwsza jest dodatnią liczbą całkowitą, która jest podzielna tylko przez 1 i sama w sobie. Liczba 1 jest podzielna przez 1 i jest podzielna sama przez siebie. Ale sam i 1 nie są dwoma odrębnymi czynnikami., Jest 1 prime czy nie? Kiedy piszę definicję liczby pierwszej w artykule, staram się usunąć tę dwuznaczność, mówiąc, że liczba pierwsza ma dokładnie dwa różne czynniki, 1 i siebie, lub że liczba pierwsza jest liczbą całkowitą większą niż 1, która jest podzielna tylko przez 1 i siebie. Ale po co iść do tych długości, aby wykluczyć 1?
mój trening matematyczny nauczył mnie, że dobrym powodem, dla którego 1 nie jest uważana za pierwszą, jest podstawowe twierdzenie arytmetyki, które mówi, że każda liczba może być zapisana jako iloczyn liczb pierwszych w dokładnie jeden sposób. Gdyby 1 było liczbą pierwszą, stracilibyśmy tę wyjątkowość., Możemy zapisać 2 jako 1×2, lub 1×1×2, lub 1594827×2. Wykluczenie 1 z liczb pierwszych wygładza to.
mój pierwotny plan, jak ten artykuł pójdzie było to, że chciałbym wyjaśnić podstawowe twierdzenie arytmetyki i być z nim. Ale naprawdę nie jest tak trudno zmodyfikować stwierdzenie podstawowego twierdzenia arytmetyki, aby rozwiązać problem 1, a w końcu pytanie mojego przyjaciela wzbudziło moją ciekawość: jak matematycy połączyli się z tą definicją liczby pierwszej?, Pobieżne spojrzenie na niektóre strony Wikipedii związane z teorią liczb pokazuje twierdzenie, że 1 kiedyś było uważane za pierwsze, ale już nie jest. Ale artykuł Chrisa Caldwella i Yeng Xionga pokazuje, że historia tej koncepcji jest nieco bardziej skomplikowana. Doceniłem ten sentyment od początku ich artykułu: „Po pierwsze, to, czy liczba (zwłaszcza jedność) jest liczbą pierwszą, jest kwestią definicji, a więc kwestią wyboru, kontekstu i tradycji, a nie kwestią dowodu., Jednak definicje nie są dokonywane przypadkowo; te wybory są związane przez nasze użycie matematyki, a zwłaszcza w tym przypadku, przez naszą notację.”
Caldwell i Xiong zaczynają od klasycznych greckich matematyków. Nie uważali 1 za liczbę w ten sam sposób, że 2, 3, 4 itd. są liczbami. 1 był uważany za jednostkę, a liczba składała się z wielu jednostek. Z tego powodu 1 nie mogła być liczbą pierwszą — nie była to nawet liczba. Arabski matematyk al-Kindī z IX wieku pisał, że nie jest to Liczba, a zatem nie jest parzysta ani nieparzysta., Pogląd, że 1 jest budulcem dla wszystkich liczb, ale nie dla samej liczby, trwał przez wieki.
w 1585 roku Flamandzki matematyk Simon Stevin zauważył, że wykonując arytmetykę w bazie 10, nie ma różnicy między cyfrą 1 a jakąkolwiek inną cyfrą. Dla wszystkich intencji i celów, 1 zachowuje się tak, jak każda inna wielkość robi. Chociaż nie było to natychmiastowe, ta obserwacja ostatecznie skłoniła matematyków do traktowania 1 jako liczby, tak jak każda inna liczba.
pod koniec XIX wieku niektórzy imponujący matematycy uznawali 1 liczbę pierwszą, a niektórzy nie., O ile mogę powiedzieć, to nie była sprawa, która wywołała spory; dla najpopularniejszych pytań matematycznych rozróżnienie nie było strasznie ważne. Caldwell i Xiong cytują G. H. Hardy ' ego jako ostatniego głównego matematyka, który uważał 1 za pierwszą. (On wyraźnie włączył go jako prime w pierwszych sześciu edycjach kursu czystej matematyki, które zostały opublikowane w latach 1908-1933. W 1938 roku zmienił definicję na 2 najmniejszą liczbę pierwszą.)
artykuł wspomina, ale nie zagłębia się w niektóre zmiany w matematyce, które pomogły ugruntować definicję liczby pierwszej i wykluczając 1., W szczególności, jedną z ważnych zmian było opracowanie zbiorów liczb poza liczbami całkowitymi, które zachowują się nieco jak liczby całkowite.
w najbardziej podstawowym przykładzie możemy zapytać, czy liczba -2 jest liczbą pierwszą. Pytanie może wydawać się bezsensowne, ale może motywować nas do wyrażenia w słowach wyjątkowej roli 1 w liczbach całkowitych. Najbardziej niezwykłym aspektem 1 w liczbach całkowitych jest to, że ma mnożną odwrotność, która jest również liczbą całkowitą. (Mnożenie odwrotności liczby x jest liczbą, która po pomnożeniu przez x daje 1., Liczba 2 ma mnożną odwrotność w zbiorze liczb wymiernych lub rzeczywistych, 1/2: 1/2×2=1, ale 1/2 nie jest liczbą całkowitą.) Liczba 1 jest własną odwrotnością multiplikatywną. Żadna inna dodatnia liczba całkowita nie ma mnożnika odwrotnego w zbiorze liczb całkowitych.* Właściwość posiadania odwrotności multiplikatywnej nazywa się byciem jednostką. Liczba -1 jest również jednostką w zbiorze liczb całkowitych: ponownie jest własną odwrotnością multiplikatywną. Nie uważamy jednostek za pierwsze lub złożone, ponieważ można je pomnożyć przez niektóre inne jednostki bez większych zmian., Możemy wtedy myśleć o liczbie -2 jako nie tak różnej od 2; z punktu widzenia mnożenia, -2 jest tylko 2 razy jednostką. Jeśli 2 jest liczbą pierwszą, -2 również powinno być.
usilnie unikałem definiowania liczby pierwszej w poprzednim akapicie z powodu niefortunnego faktu dotyczącego definicji liczby pierwszej, jeśli chodzi o te większe zbiory liczb: to jest złe! Cóż, to nie jest złe, ale jest trochę sprzeczne z intuicją, i gdybym była królową teorii liczb, nie wybrałabym tego terminu, aby miał taką definicję., W dodatnich liczbach całkowitych każda liczba pierwsza p ma dwie właściwości:
liczba p nie może być zapisana jako iloczyn dwóch liczb całkowitych, z których żadna nie jest jednostką.
Gdy iloczyn m×n jest podzielny przez p, to m lub n musi być podzielny przez p. (aby sprawdzić, co ta właściwość oznacza na przykładzie, wyobraź sobie, że m= 10, n=6 I p=3.)
pierwsza z tych właściwości jest czymś, co możemy uznać za sposób scharakteryzowania liczb pierwszych, ale niestety określenie tej właściwości jest nieredukowalne. Druga nieruchomość nazywa się prime., W przypadku dodatnich liczb całkowitych oczywiście te same liczby spełniają obie właściwości. Ale nie jest to prawdą dla każdego interesującego zbioru liczb.
jako przykład przyjrzyjmy się zbiorowi liczb postaci a+b√-5 lub a+ib√5, Gdzie a i b są liczbami całkowitymi, a i jest pierwiastkiem kwadratowym z -1. Jeśli pomnożysz liczby 1 + √-5 i 1 – √-5, otrzymasz 6. Oczywiście, otrzymasz również 6, jeśli pomnożysz 2 i 3, które są również w tym zbiorze liczb, z b=0. Każda z liczb 2, 3, 1+√-5 i 1 – √-5 nie może być dalej dzielona i zapisywana jako iloczyn liczb, które nie są jednostkami., (Jeśli nie wierzysz mi na słowo, to nie jest zbyt trudne, aby przekonać siebie.) Ale produkt (1+√-5)(1-√-5) jest podzielna przez 2, a 2 nie dzieli ani 1 + √-5, ani 1 – √-5. (Po raz kolejny możesz to udowodnić sobie, jeśli mi Nie wierzysz.) Więc 2 jest nieredukowalne, ale nie jest pierwsze. W tym zbiorze liczb 6 można podzielić na liczby nieredukowalne na dwa różne sposoby.,
powyższa liczba, którą matematycy mogą nazwać Z (wymawiane „Zee przylega do pierwiastka kwadratowego negatywnej piątki” lub „zed przylega do pierwiastka kwadratowego negatywnej piątki, pip pip, cheerio” w zależności od tego, co lubisz nazywać ostatnią literą alfabetu), ma dwie jednostki, 1 i -1. Ale istnieją podobne zestawy liczb, które mają nieskończoną liczbę jednostek. Ponieważ zbiory takie jak ten stały się przedmiotem badań, ma sens, że definicje unit, niereducible i prime musiałyby być starannie określone., W szczególności, jeśli istnieją zbiory liczb o nieskończonej liczbie jednostek, trudniej jest zrozumieć, co rozumiemy przez unikalną faktoryzację liczb, chyba że wyjaśnimy, że jednostki nie mogą być pierwsze. Chociaż nie jestem historykiem matematyki ani teoretykiem Liczby i chciałbym przeczytać więcej o tym, jak dokładnie przebiegał ten proces, zanim spekulowałem dalej, myślę, że jest to jeden rozwój Caldwell i Xiong aluzja do tego motywowane wykluczenie 1 z liczb pierwszych.,
Jak to często bywa, moja początkowa zgrabna i uporządkowana odpowiedź na pytanie, dlaczego wszystko jest tak, jak jest, jest tylko częścią historii. Dzięki mojemu przyjacielowi za zadanie pytania i pomoc mi dowiedzieć się więcej o niechlujnej historii primality.
*to zdanie zostało zredagowane po publikacji, aby wyjaśnić, że żadna inna dodatnia liczba całkowita nie ma mnożnej odwrotności, która jest również liczbą całkowitą.