In der Mathematik ist eine lineare Approximationsformel eine Approximation einer allgemeinen Funktion unter Verwendung einer linearen Funktion (genauer gesagt einer affinen Funktion). Sie werden häufig in der Methode der endlichen Unterschiede verwendet, um Methoden erster Ordnung zum Lösen oder Annähern von Gleichungslösungen zu erzeugen.
Diese Annäherung ist entscheidend für viele bekannte numerische Techniken wie Eulers Methode zur Annäherung an Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen., Die Idee, lineare Approximationen zu verwenden, beruht auf der Nähe der Tangente zum Graphen der Funktion um einen Punkt.
Formel
Diese Lektion zeigt, wie man eine Linearisierung einer Funktion findet und wie man sie verwendet, um eine lineare Approximation vorzunehmen. Diese Methode wird in vielen Bereichen der Wissenschaft häufig verwendet, und es erfordert ein wenig über Kalkül zu wissen, insbesondere, wie man eine Ableitung findet.,
Tangentialebenen und lineare Annäherungen
Intuitiv scheint klar, dass in einer Ebene nur eine Linie an einem Punkt tangential zu einer Kurve sein kann. Im dreidimensionalen Raum können jedoch viele Linien zu einem bestimmten Punkt tangential sein. Wenn diese Linien in derselben Ebene liegen, bestimmen sie die Tangentenebene an diesem Punkt. Eine intuitivere Art, sich eine Tangentenebene vorzustellen, besteht darin, anzunehmen, dass die Oberfläche an diesem Punkt glatt ist (keine Ecken). Dann hat eine Tangente zur Oberfläche an diesem Punkt in irgendeiner Richtung keine abrupten Neigungsänderungen, weil sich die Richtung glatt ändert., Daher berührt in einer ausreichend kleinen Nachbarschaft um den Punkt herum nur eine Tangensebene die Oberfläche an diesem Punkt.
Tangentenlinien und Linearisierung
Lassen Sie uns eine grundlegende Tatsache über Derivate überprüfen. Der Wert der Ableitung an einem bestimmten Punkt, x = a, misst die Steigung der Kurve, y = f(x), an diesem Punkt. Mit anderen Worten, f ‘(a) = Steigung der Tangente bei a.,
Die Tangentiallinie ist etwas Besonderes, da sie bei dem spezifischen x-Wert, an dem Sie interessiert sind, der Richtung der Kurve am engsten entspricht. Beachten Sie, wie nahe die y-Werte der Funktion und der Tangente sind, wenn sich x in der Nähe des Punktes befindet, an dem die Tangente auf die Kurve trifft.,
Wenn also die Kurve y = f(x) viel zu kompliziert ist, um damit zu arbeiten, und wenn Sie nur interessiert sind Werte der Funktion in der Nähe eines bestimmten Punktes, dann könnten Sie die Funktion wegwerfen und einfach die Tangente verwenden. Nun, werfen Sie die Funktion nicht wirklich weg. . . wir können es später brauchen!
Formel für die Linearisierung
Wie finden Sie die Linearisierung einer Funktion f an einem Punkt x = a?, Denken Sie daran, dass die Gleichung einer Linie bestimmt werden kann, wenn Sie zwei Dinge kennen:
- Die Steigung der Linie, m
- Jeder einzelne Punkt, den die Linie durchläuft, (a, b).
Wir stecken diese Informationen in die Punkt-Steigungs-Form, und dies gibt uns die Gleichung der Linie. (Dies ist nur Algebra, Leute; noch kein Kalkül.)
y-b = m (x–a)
Bei solchen Problemen erhalten Sie jedoch keine Werte für b oder m. Stattdessen müssen Sie sie selbst finden. , Erstens m = f ‘(a), weil die Ableitung die Steigung misst, und zweitens b = f(a), weil die ursprüngliche Funktion y-Werte misst.
Lokale lineare Approximationsformel
Lineare Approximation ist der Prozess der Suche nach der Gleichung einer Linie, die die nächste Schätzung einer Funktion für einen gegebenen Wert von x. Lineare Approximation wird auch als Tangentenlinien-Approximation bezeichnet und wird verwendet, um die Formeln zu vereinfachen, die mit trigonometrischen Funktionen verbunden sind, insbesondere in der Optik., Bei unendlich enger Beobachtung beginnt eine Kurve einer geraden Linie zu ähneln, so dass eine lineare Annäherung die Funktion sehr genau imitieren kann. Für eine doppelt differenzierbare, realwertige Funktion f (x) ist 
, wobei R2 der Restterm ist. Die lineare Annäherung wird dann durch 
gegeben. Diese Näherung entspricht der Gleichung für die Tangente bei a.,
Anwendungen linearer Approximationen
Optik
Die Gaußsche Optik ist eine Technik in der geometrischen Optik, die das Verhalten von Lichtstrahlen in optischen Systemen unter Verwendung der paraxialen Approximation beschreibt, bei der nur Strahlen berücksichtigt werden, die mit der optischen Achse des Systems kleine Winkel bilden. In dieser Näherung können trigonometrische Funktionen als lineare Funktionen der Winkel ausgedrückt werden. Die Gaußsche Optik gilt für Systeme, bei denen alle optischen Oberflächen entweder flach oder Teile einer Kugel sind., In diesem Fall können einfache explizite Formeln für Parameter eines Bildgebungssystems wie Brennweite, Vergrößerung und Helligkeit in Bezug auf die geometrischen Formen und Materialeigenschaften der Bestandteile gegeben werden.
Schwingungsperiode
Die Schwingungsperiode eines einfachen Schwerkraftpendels hängt von seiner Länge, der lokalen Stärke der Schwerkraft und in geringem Maße von dem maximalen Winkel ab, den das Pendel von der Vertikalen wegschwingt, θ0, die Amplitude genannt. Es ist unabhängig von der Masse des bob., Die wahre Periode T eines einfachen Pendels, die Zeit, die für einen vollständigen Zyklus eines idealen einfachen Schwerkraftpendels benötigt wird, kann in verschiedenen Formen geschrieben werden.