数学において、線形近似公式は、線形関数（より正確にはアフィン関数）を用いた一般関数の近似である。 それらは、方程式の解を解いたり近似したりするための一次法を生成するために有限差分法に広く使用されています。
この近似は、常微分方程式の解を近似するためのオイラー法のような多くの既知の数値手法にとって重要である。, 線形近似を使用するという考え方は、点の周りの関数のグラフに対する接線の近さにかかっています。
式
このレッスンでは、関数の線形化を見つける方法と、それを使用して線形近似を行う方法を示します。 この方法は、科学の多くの分野でかなり頻繁に使用されており、微積分、特に微分を見つける方法について少し知る必要があります。,
接平面と線形近似
直感的には、平面内では、ある点で曲線に接することができるのは一つの線だけであることは明らかです。 しかし、三次元空間では、多くの線が与えられた点に接することができます。 これらの線が同じ平面内にある場合、それらはその点での接平面を決定します。 接平面を考えるより直感的な方法は、サーフェスがその点で滑らかであると仮定することです（角がない）。 そして、任意の方向のその点におけるサーフェスへの接線は、方向が滑らかに変化するので、急激な傾きの変化を有さない。, したがって、点の周りの十分に小さい近傍では、接平面はその点でのみ表面に接します。
接線と線形化
導関数についての基本的な事実を見直しましょう。 特定の点における導関数の値x=aは、その点における曲線y=f(x)の傾きを測定します。 言い換えれば、f'(a)=aにおける接線の傾き。,
ここで、接線は特別です。 Xが接線が曲線と接する点の近くにあるとき、関数のy値と接線がどれほど近いかに注意してください。,
したがって、曲線y=f(x)が複雑すぎて作業できず、特定の点の近くの関数の値にのみ関心がある場合は、関数を捨てて接線を使うことができます。 まあ、実際に機能を捨ててはいけません。 . . 後で必要になるかもしれません！
線形化のための式
それでは、点x=aで関数fの線形化をどのように見つけるのですか？, あなたは二つのことを知っていれば、ラインの方程式を決定することができることを覚えておいてください：
- ラインの傾き、m
- ラインが通過する
これらの情報をポイント-スロープ形式にプラグインし、これにより線の方程式が得られます。 （これは単なる代数です、人々;微積分はまだありません。しかし、このような問題では、bまたはmの値は与えられません。, まず、導関数が傾きを測定するため、m=f’（a）、次に、元の関数がy値を測定するため、b=f（a）です。
局所線形近似式
線形近似は、xの与えられた値に対する関数の最も近い推定値である線の方程式を見つけるプロセスです。, 無限に近い観測では、曲線は直線に似ているので、線形近似は関数を非常に密接に模倣することができます。 二回微分可能な実数値関数f(x)に対して、
、ここでR2は剰余項である。 線形近似は、
によって与えられます。 この近似は、aにおける接線の方程式と等価です。,
線形近似の応用
光学系
ガウス光学系は、系の光軸と小さな角度を作る光線のみを考慮する近軸近似を用いて光学系における光線の挙動を記述する幾何学的光学の技術である。 この近似では、三角関数は角度の線形関数として表すことができます。 ガウス光学は、すべての光学面が平坦であるか、または球の一部であるシステムに適用されます。, この場合，焦点距離，倍率，明るさなどのイメージングシステムのパラメータに対して，構成要素の幾何学的形状や材料特性に関して簡単な明示的な公式を与えることができる。
振動の周期
単純な重力振り子の揺れの周期は、その長さ、重力の局所的な強さ、および振り子が垂直から離れて揺れる最大角度φ0、振幅と呼ばれ それはボブの質量とは無関係です。, 単純な振り子の真の周期T、理想的な単純な重力振り子の完全なサイクルにかかる時間は、いくつかの異なる形式で書くことができます。