私のエンジニアの友人は最近、彼が番号1が素数であるかどうかわからないと言って私を驚かせました。 数学者の間では、1は普遍的に非素数とみなされているので、私は驚きました。
混乱は、人が”素数”を与えるかもしれないこの定義から始まります：素数は、1とそれ自体で割り切れる正の整数です。 数1は1で割り切れ、それ自体で割り切れます。 しかし、それ自体と1つの異なる要因ではありません。, 1素数であるかどうか？ 私が記事で素数の定義を書くとき、私は素数が正確に二つの異なる要因、1とそれ自体を持っていると言うことによって、そのあいまいさを取り除こうとするか、素数は1とそれ自体でしか割り切れない1より大きい整数であると言うことによって。 しかし、なぜそくその長さは除外1?
私の数学的訓練は、1が素数とみなされない正当な理由は、算術の基本定理であり、すべての数は正確に一つの方法で素数の積として書くことができると述べていることを教えてくれました。 1が素数であれば、その一意性を失うことになります。, 2を1×2、1×1×2、または1594827×2と書くことができます。 素数から1を除くと、それは滑らかになります。
この記事がどのように進むかについての私の当初の計画は、私が算術の基本定理を説明し、それを使って行うことでした。 しかし、1つの問題に対処するために算術の基本定理の声明を修正することは本当に難しいことではありません、そして結局のところ、私の友人の, 数論に関連するいくつかのWikipediaのページの周りをざっと見ると、1は素数とみなされていましたが、もはやそうではないという主張が現れます。 しかし、Chris CaldwellとYeng Xiongによる論文は、概念の歴史がもう少し複雑であることを示しています。 私は彼らの記事の冒頭からこの感情を高く評価しました：”まず、数（特に団結）が素数であるかどうかは定義の問題なので、証明の問題ではなく、選択、文脈、, これらの選択は、私たちの数学の使い方、特にこの場合、私たちの表記法によって縛られています。”
コールドウェルと熊は、古典的なギリシャの数学者から始まります。 彼らは、1が2、3、4などが数字であるのと同じように数字であるとは考えていませんでした。 1は単位とみなされ、数は複数の単位で構成されていました。 そのため、1は素数ではありませんでした—それは数字でさえありませんでした。 第九世紀のアラブの数学者al-Kindīは、それが数ではなく、したがって偶数または奇数ではないと書いています。, 1はすべての数の構成要素であったが、数そのものではないという見解は何世紀にもわたって続いた。
1585年、フランドルの数学者Simon Stevinは、基数10で算術を行うとき、数字1と他の数字との間に違いはないことを指摘しました。 すべての意図と目的のために、1は他の大きさのように動作します。 それは即時ではありませんでしたが、この観察は最終的に数学者を他の数と同じように1を数として扱うように導きました。
19世紀の終わりを通じて、いくつかの印象的な数学者は1つの素数を考え、いくつかはしませんでした。, 私が知る限り、それは争いを引き起こした問題ではなかった;最も普及した数学的な質問のために、区別はそれほど重要ではなかった。 コールドウェルとXiongは、G.H.ハーディを1を素数と考える最後の主要な数学者として引用している。 （彼は明示的に1908年から1933年の間に出版された純粋数学のコースの最初の六つの版で素数としてそれを含めました。 彼は1938年に定義を更新して、2を最小の素数とした。）
この記事では、素数の定義を固め、1を除くのに役立った数学の変化のいくつかについて言及していますが、掘り下げていません。, 具体的には、一つの重要な変更は、整数のようにやや振る舞う整数を超えた数のセットの開発でした。
非常に基本的な例では、数-2が素数であるかどうかを尋ねることができます。 この質問は無意味に見えるかもしれませんが、整数における1のユニークな役割を言葉にするよう動機づけることができます。 整数の中で1の最も珍しい側面は、それが整数でもある乗法逆数を持っているということです。 （数xの乗法逆数は、xを掛けたときに1を与える数です。, 数2は有理数または実数の集合において乗法逆数1/2:1/2×2=1を持つが、1/2は整数ではない。）数1は、それ自身の乗法逆数であることが起こります。 他の正の整数は、整数のセット内で乗法逆数を持ちません。*乗法的逆数を持つ性質を単位と呼ぶ。 数-1は整数の集合の中の単位でもあります：ここでも、それはそれ自身の乗法逆数です。 あまり変更することなく、特定の他の単位で乗算できるため、単位は素数または複合単位とはみなされません。, 次に、-2という数を2とそれほど変わらないと考えることができます。乗算の観点からは、-2は単位倍の2です。 2が素数であれば、-2も同様であるべきである。
これらのより大きな数字のセットに関しては、素数の定義について不幸な事実のために、前の段落で素数の定義を熱心に避けました：それは間違 まあ、それは間違っていませんが、それは少し直感に反しています、そして私が数論の女王だったなら、私はそれが定義する用語を選ばなかったでしょ, 正の整数において、各素数pは二つの性質を持つ：
数pは二つの整数の積として書くことはできず、どちらも単位ではない。
積m×nがpで割り切れるときはいつでも、mまたはnはpで割り切れなければなりません（このプロパティが例で意味することを確認するには、m=10、n=6、およびp=3）
これらの特性の最初は、素数を特徴付ける方法として考えるかもしれないものですが、残念ながらその特性の用語は既約ではありません。 第二のプロパティは素数と呼ばれます。, 正の整数の場合、もちろん、同じ数は両方の性質を満たします。 もうちょっと違うんでご興味深いセットです。
例として、a+b≤-5、またはa+ib≤5の形式の数の集合を見てみましょう。aとbは両方とも整数であり、iは-1の平方根です。 数字1+√-5と1-√-5を掛けると、6が得られます。 もちろん、6を取得するには、この数のセットにも含まれる2と3をb=0で乗算する必要があります。 2,3,1+√-5,1-√-5はそれぞれ、単位でない数の積としてさらに分解して書くことはできません。, (かない場合には私の言葉でいう。）しかし、製品(1+√-5)(1-√-5) は2で割り切れ、2は1+√-5または1-√-5のいずれも割り切れません。 （もう一度、あなたは私を信じていない場合は、自分自身にそれを証明することができます。）したがって、2は既約ですが、素数ではありません。 この数の集合において、6は二つの異なる方法で既約数に因数分解することができる。,
数学者がZと呼ぶかもしれない上記の数は、アルファベットの最後の文字を呼びたいものに応じて”zee adjoin the square root of negative five”または”zed adjoin the square root of negative five,pip pip,cheerio”と発音され、1と-1の二つの単位を持っている。 しかし、無限の数のユニットを持つ同様の数のセットがあります。 このような集合が研究の対象となったので、単位、既約、素数の定義は慎重に描かれる必要があることは理にかなっています。, 特に、無限の数の単位を持つ数の集合がある場合、単位が素数であることができないことを明確にしない限り、数の一意の因数分解によって何を意味するのかを理解することはより困難になる。 私は数学史家でも数理学者でもなく、さらに推測する前にこのプロセスがどのように行われたかについてもっと読みたいと思っていますが、これはCaldwellとXiongが素数から1を除外する動機づけをしたことを暗示している一つの開発であると思います。,
それほど頻繁に起こるように、物事がなぜ物語の一部に過ぎないのかについての私の最初のきちんとしたきちんとした答え。 質問をして、素数性の厄介な歴史についてもっと学ぶのを手伝ってくれた私の友人に感謝します。
*この文は、他の正の整数にも整数である乗法逆数がないことを明確にするために出版後に編集されました。