egy mérnök barátom nemrég meglepett azzal, hogy nem volt biztos benne, hogy az 1-es szám elsődleges-e vagy sem. Meglepődtem, mert a matematikusok körében az 1-et egyetemesen nem prime-nak tekintik.
a zűrzavar ezzel a definícióval kezdődik, amelyet egy személy “prímnek” adhat: a prímszám egy pozitív egész szám, amely csak 1-gyel és önmagában osztható. Az 1-es szám osztható 1-gyel, és önmagában is osztható. De maga az 1 nem két különálló tényező., Van 1 prime vagy sem? Amikor a prím meghatározását írom egy cikkben, megpróbálom eltávolítani ezt a kétértelműséget azzal, hogy egy prímszámnak pontosan két különálló tényezője van, 1 és maga, vagy hogy egy prím egy egész szám nagyobb, mint 1, amely csak osztható 1 és maga. De miért megy ezekre a hosszúságokra, hogy kizárják az 1-et?
matematikai képzésem azt tanította nekem, hogy az 1 nem tekinthető prímnek, az aritmetika alapvető tétele, amely kimondja, hogy minden szám pontosan egy prím termékeként írható. Ha 1 elsődleges lenne, elveszítenénk ezt az egyediséget., Írhatnánk 2-t 1×2-ként, vagy 1×1×2-ként, vagy 1594827×2-ként. Kivéve 1 a prímek simítja, hogy ki.
az eredeti tervem, hogy ez a cikk hogyan fog menni, az volt, hogy elmagyarázom az aritmetika alapvető tételét, és vele együtt kell elvégezni. De tényleg nem olyan nehéz módosítani az aritmetika alapvető tételének állítását az 1 probléma megoldására, végül is a barátom kérdése felkeltette kíváncsiságomat: hogyan alakultak ki a matematikusok a prím meghatározásában?, A számelmélethez kapcsolódó Wikipédia oldalak körüli felületes pillantás arra az állításra utal, hogy 1 prime-nak tekintették, de már nem. De egy Chris Caldwell és Yeng Xiong által készített tanulmány szerint a koncepció története egy kicsit bonyolultabb. Cikkük elejétől fogva nagyra értékeltem ezt az érzést: “először is, függetlenül attól, hogy egy szám (különösen az egység) egy prím, definíció kérdése, tehát választás, kontextus és hagyomány kérdése, nem bizonyíték kérdése., A definíciók azonban nem véletlenszerűen kerülnek meghatározásra; ezeket a döntéseket a matematika használata, különösen ebben az esetben a jelölés köti.”
Caldwell és Xiong a klasszikus görög matematikusokkal kezdődik. Nem tekintették az 1-et olyan számnak, mint a 2, 3, 4 stb. Az 1-et egységnek tekintették, a számot pedig több egységből állították össze. Ezért az 1 nem lehetett elsődleges-még egy szám sem volt. A kilencedik századi Arab matematikus, al-Kindī azt írta, hogy ez nem egy szám, ezért nem páros vagy páratlan., Az a nézet, hogy az 1 minden szám építőköve volt, de nem maga a szám évszázadok óta tartott.
1585-ben Simon Stevin flamand matematikus rámutatott, hogy a 10-es alapszámban végzett aritmetika során nincs különbség az 1-es számjegy és bármely más számjegy között. Minden szempontból az 1 úgy viselkedik,mint bármely más nagyságrendű. Bár nem volt azonnali, ez a megfigyelés végül arra késztette a matematikusokat, hogy számként kezeljék az 1-et, mint bármely más számot.
a 19. század végén néhány lenyűgöző matematikus 1 prímnek tekintette, mások pedig nem., Amennyire meg tudom mondani, nem volt olyan kérdés, amely viszályt okozott; a legnépszerűbb matematikai kérdések esetében a megkülönböztetés nem volt rettenetesen fontos. Caldwell és Xiong idézik G. H. Hardy, mint az utolsó nagy matematikus, hogy fontolja meg 1 hogy elsődleges. (Az 1908 és 1933 között megjelent “tiszta matematika” kurzus első hat kiadásában kifejezetten prímszámként tüntette fel. 1938-ban frissítette a meghatározást, hogy 2 a legkisebb prím.)
a cikk megemlíti, de nem foglalkozik a matematika néhány olyan változásával, amely segített megszilárdítani a prím definícióját, kivéve az 1-et., Pontosabban, az egyik fontos változás az egész számokon túlmutató számkészletek kifejlesztése volt, amelyek kissé egész számként viselkednek.
a legalapvetőbb példában megkérdezhetjük, hogy a -2 szám prím-e. A kérdés értelmetlennek tűnhet, de motiválhat minket arra, hogy szavakba tegyük az 1 egyedülálló szerepét az egész számban. Az 1 legszokatlanabb aspektusa az egész számokban az, hogy multiplikatív inverzével rendelkezik, amely szintén egész szám. (Az x szám multiplikatív inverze olyan szám, amely X-szel szorozva 1-et ad., A 2-es szám multiplikatív inverzével rendelkezik a racionális vagy valós számok halmazában, 1/2: 1/2×2=1, de az 1/2 nem egész szám.) Az 1-es szám történetesen saját multiplikatív inverze. Egyetlen más pozitív egész számnak sincs multiplikatív inverze az egész számok halmazán belül.* Az a tulajdonság, amelynek multiplikatív inverz nevezzük, hogy egy egység. A -1 szám szintén egység az egész számok halmazán belül:ismét saját multiplikatív inverz. Az egységeket nem tekintjük prime-nak vagy kompozitnak, mert bizonyos más egységekkel sokszorozhatjuk őket anélkül, hogy sokat változnánk., Ezután úgy gondolhatunk a -2 számra, mint amely nem különbözik annyira a 2-től; a szorzás szempontjából a -2 csak 2-szer egy egység. Ha a 2 prím, akkor -2-nek is kell lennie.
határozottan elkerültem a prím meghatározását az előző bekezdésben, mert szerencsétlen tény a prím meghatározásáról, amikor ezekre a nagyobb számkészletekre kerül sor: ez rossz! Nos, ez nem rossz, de ez egy kicsit ellenintuitív, és ha én lennék a számelmélet királynője, nem választottam volna azt a kifejezést, hogy megvan a definíció., A pozitív egész számokban minden P prímszámnak két tulajdonsága van:
A P szám nem írható két egész szám szorzataként, amelyek egyike sem egység.
amikor egy M×n termék osztható p-vel, akkor m vagy n-nek oszthatónak kell lennie p – vel (annak ellenőrzéséhez, hogy mit jelent ez a tulajdonság egy példában, képzelje el, hogy m=10, n=6, és p=3.)
ezen tulajdonságok közül az első az, amit úgy gondolhatunk, mint a prímszámok jellemzésének módját, de sajnos ennek a tulajdonságnak a kifejezése nem redukálható. A második tulajdonság prime., Pozitív egész számok esetén természetesen ugyanazok a számok kielégítik mindkét tulajdonságot. De ez nem igaz minden érdekes számkészletre.
példaként nézzük meg az A+b√-5 vagy a+ib√5 forma számkészletét, ahol az A és b mind egész számok, én pedig -1 négyzetgyöke. Ha megszorozzuk az 1+√-5 és 1-√-5 számokat, akkor 6-ot kapunk. Természetesen akkor is kapsz 6-ot, ha megszorozod a 2-t és a 3-at, amelyek ebben a számkészletben is vannak, b = 0-val. A 2, 3, 1+√-5 és 1-√-5 számokat nem lehet tovább bontani, és nem egységeket tartalmazó számok szorzataként írni., (Ha nem veszi a szavamat, nem túl nehéz meggyőzni magát.) De a termék (1+√-5)(1-√-5) osztható 2-vel, a 2 pedig nem osztja az 1+√-5 vagy az 1-√-5 értéket. (Még egyszer bebizonyíthatja magának, ha nem hisz nekem.) Tehát a 2 nem redukálható, de nem prím. Ebben a számkészletben a 6-ot két különböző módon lehet helyrehozhatatlan számokká alakítani.,
A szám be van állítva, a fenti, amely a matematikusok lehet hívni Z (ejtsd “zee szomszédosak a négyzetgyök negatív öt” vagy “zed szomszédosak a négyzetgyök negatív öt, pip pip, cheerio” attól függően, hogy mit úgy hívunk, az utolsó betű az abc-t), van két egység, 1 -1. De vannak hasonló számkészletek, amelyek végtelen számú egységgel rendelkeznek. Mivel az ilyen halmazok tanulmány tárgyakká váltak, logikus, hogy az egység definícióit, a redukálhatatlanokat és a prímeket gondosan meg kell határozni., Különösen, ha végtelen számú egységgel rendelkező számkészletek vannak, nehezebb kitalálni, hogy mit értünk a számok egyedi faktorizálásával, hacsak nem tisztázzuk, hogy az egységek nem lehetnek prímek. Míg én nem vagyok egy matek történész vagy számos teoretikus pedig szívesen olvasnának még arról, hogy pontosan milyen ez a folyamat zajlott le, mielőtt spekuláció további, azt hiszem, ez egy fejlesztési Caldwell, valamint Xiong utalnak, motivált, a kirekesztés, a 1 a prímszám.,
ahogy ez oly gyakran történik, a kezdeti tiszta és rendezett válaszom arra, hogy miért vannak a dolgok úgy, ahogy végül csak a történet része. Köszönöm a barátomnak, hogy feltette a kérdést, és segített többet megtudni a rendetlen történelem primality.
* ezt a mondatot a közzététel után szerkesztették annak tisztázására, hogy egyetlen más pozitív egész számnak sincs multiplikatív inverze, amely szintén egész szám.