a matematikában a lineáris közelítési képlet egy általános függvény közelítése lineáris függvény segítségével (pontosabban egy affinfüggvény). Széles körben használják a véges különbségek módszerében, hogy elsőrendű módszereket hozzanak létre az egyenletekre vonatkozó megoldások megoldására vagy közelítésére.
Ez a közelítés elengedhetetlen számos ismert numerikus technikához, például az Euler módszeréhez, hogy megközelítse a szokásos differenciálegyenletek megoldásait., A lineáris közelítések használatának ötlete az érintővonal közelségében rejlik a függvény grafikonjához egy pont körül.
képlet
Ez a lecke azt mutatja, hogyan lehet megtalálni egy függvény linearizációját, és hogyan kell használni lineáris közelítéshez. Ezt a módszert gyakran használják a tudomány számos területén, és megköveteli egy kicsit a kalkulus megismerését, különösen a származék megtalálását.,
tangens síkok és lineáris Közelítések
intuitív módon egyértelműnek tűnik, hogy egy síkban csak egy vonal lehet érinteni egy görbét egy ponton. A háromdimenziós térben azonban sok vonal érinthet egy adott pontot. Ha ezek a vonalak ugyanabban a síkban fekszenek, akkor meghatározzák az érintő síkot ezen a ponton. A tangens sík gondolkodásának intuitívabb módja az, ha feltételezzük, hogy a felület ezen a ponton sima (sarkok nélkül). Ezután a felület érintővonala bármely irányban semmilyen irányban nem változik hirtelen lejtőn, mert az irány simán változik., Ezért a pont körül egy elég kicsi környéken egy érintő sík csak ezen a ponton érinti a felületet.
tangens vonalak és Linearizáció
nézzük át a származékokról szóló alapvető tényt. A származék értéke egy adott ponton, x = a, méri a görbe lejtését, y = f (x), ezen a ponton. Más szóval, f ‘ (a) = az érintővonal lejtése a-nál.,
most az érintő vonal különleges, mert ez az egyetlen vonal, amely leginkább megfelel a görbe irányának, a megadott x-értéknél érdekli őket. Figyeld meg, milyen közel vannak a függvény és az érintővonal y értékei, amikor x közel van ahhoz a ponthoz, ahol az érintővonal találkozik a görbével.,
tehát, ha az y = f(x) görbe túlságosan bonyolult ahhoz, hogy működjön, és ha csak a függvény értékei érdekelnek egy adott pont közelében, akkor eldobhatja a függvényt, és csak az érintővonalat használhatja. Nos, valójában ne dobja el a funkciót. . . lehet, hogy később szükségünk lesz rá!
Linearizációs képlet
tehát hogyan találja meg az f függvény linearizációját egy X = a ponton?, Ne feledje, hogy egy vonal egyenlete meghatározható, ha két dolgot tud:
- a vonal lejtése, m
- minden olyan pont, amelyen a vonal áthalad, (a, b).
ezeket az információdarabokat a pont-lejtő formába dugjuk, ami megadja nekünk a vonal egyenletét. (Ez csak algebra, emberek; még nincs kalkulus.)
y-b = m (x-a)
de ilyen problémák esetén nem kap értékeket b vagy m. Ehelyett meg kell találnia őket., Először m = f ‘(a), mert a származék a lejtőt méri, másodszor pedig b = f(a), mert az eredeti függvény y-értékeket méri.
helyi lineáris közelítési képlet
lineáris közelítés az a folyamat, hogy megtaláljuk az egyenlet egy vonal, amely a legközelebbi becslés egy függvény egy adott érték x. lineáris közelítés is ismert tangens vonal közelítés, és arra használják, hogy egyszerűsítse a képletek kapcsolódó trigonometrikus függvények, különösen az optika., Végtelenül szoros megfigyelésnél a görbe egy egyenes vonalhoz hasonlít, így a lineáris közelítés nagyon szorosan utánozza a funkciót. Kétszer differenciálható, valós értékű f(x) függvény esetén 
, ahol R2 a fennmaradó kifejezés. A lineáris közelítést tehát a 
adja meg. Ez a közelítés megegyezik az a tangens vonal egyenletével.,
lineáris Közelítések alkalmazása
Optika
Gaussian optika a geometriai optika olyan technikája, amely a fénysugarak viselkedését írja le az optikai rendszerekben a paraxiális közelítés alkalmazásával, amelyben csak azokat a sugarakat veszik figyelembe, amelyek kis szögeket hoznak létre a rendszer optikai tengelyével. Ebben a közelítésben a trigonometrikus függvények a szögek lineáris függvényeként fejezhetők ki. A Gauss optika olyan rendszerekre vonatkozik, amelyekben az összes optikai felület sík vagy gömb részei., Ebben az esetben egyszerű explicit képletek adhatók egy képalkotó rendszer paramétereihez, mint például a fókusztávolság, a nagyítás és a fényerő, az alkotóelemek geometriai alakzatai és anyagi tulajdonságai szempontjából.
oszcillációs periódus
az egyszerű gravitációs inga lengési periódusa a hosszától, a gravitáció helyi erősségétől, valamint kis mértékben attól a maximális szögtől függ, amelyet az inga függőleges, θ0-tól távolít el, az amplitúdónak nevezik. Ez független a bob tömegétől., Az egyszerű inga valódi t periódusa, az ideális egyszerű gravitációs inga teljes ciklusához szükséges idő, több különböző formában írható.