az 1970-es évek óta a Robert Merton, Myron Scholes és Fischer Black által kifejlesztett opciós árképzési modell körül van, és a gyakorlatban még mindig használják az opciók értékének kiszámításához. Azóta a modell többször változásokon ment keresztül, de többé-kevésbé ugyanaz maradt az alapvető kialakításában., A három tudós modellje még annyira sikeresnek bizonyult, hogy Merton és Scholes 1997-ben elnyerte a közgazdasági Nobel-díjat. Fekete 1995-ben halt meg. Bár a modellt helyesen nevezik fekete-Scholes-Merton modellnek, a gyakorlatban Mertont már nem említik, és az egyszerűség kedvéért szinte minden tankönyv, a szakemberek és a tudósok ma a modellt Fekete-Scholes modellnek nevezik.
A Black Scholes modell alapvetően nagyon hasonlít a már ismert binomiális fa modellhez., Itt azonban az időszakok szinte végtelen számú alidőszakra oszlanak. A szakaszok olyan kicsiek,hogy egymásba olvadnak. Így egy idő-folyamatos rendszer (Engl. folyamatos idejű modell). A fekete Scholes modell a binomiális modell idő-folyamatos modellje.
alapvető feltételezések a fekete-Scholes modellben
* az opció Európai stílus.
* a futamidő alatt nincs osztalék vagy egyéb cash flow.
* nincsenek tranzakciós költségek.,
• normál eloszlás: az alapul szolgáló eszközök hozamai általában eloszlanak.
* a kockázatmentes kamatláb ismert, és az opció futamideje alatt állandó.
• az alapul szolgáló volatilitása (az ár ingadozási tartománya) ismert, és az opció időtartama alatt állandó.
Excursus on steady interest (Engl. folyamatos összetétel), a logaritmus és a természetes logaritmus
tegyük fel, hogy a biztonság ma 10 eurót ér. Egy év elteltével a biztosíték értéke 11 euróra emelkedett, azaz 10% – kal., Ha azonban ezt az értéknövekedést, azaz ezt a hozamot folyamatosan díjazzák, akkor ezt a hozamot a természetes logaritmus alapján számítják ki. Ezt a természetes logaritmust Ln-nek hívják a matematikában. Példánkban a hozam ln(1,10) = 0,0953 lenne, ami 9,53% – nak felel meg. Ha ezeket a folyamatosan kamatozó hozamokat általában elosztják, akkor lognormálisan elosztott hozamokról beszélünk. A Black-Scholes modell ezekkel A lognormális disztribúciókkal működik!,>
az érték a Hívás Opció: \( c=S_{0}*N(d_{1})-Ke^{-r^{c}T}N(d_{2}) \)
az érték az eladási Opció: \( p=Ke^{-r^{c}T}\left-S_{0}\maradt \)
amennyiben \( d_{1}=\frac{ln(S_{0}/K)+\leftT}{\sigma\sqrt{T}} \)
vagy \( d_{2}=d_{1}-\sigma\sqrt{T} \)
\( S_{0} \), az ár az-Alapú idején \( T_{0} \)
c ára a Hívás
p, az ár a Hozza
X a Sztrájk a Lehetőséget,
\( r^{c} \) a folyamatosan, kamatok, kockázatmentes kamatláb
a T a terjedő időtartam lejárta Lehetőség, látható Alkatrész egy év (például,,B. 1 hónap = 1/12, 1 nap = 1/365, stb.)
σ (“Csillag”) a volatilitás, azaz a évesített szórása visszatér a mögöttes eszköz
\( σ^{2} \) a variancia a jövedelem alap érték
ln a természetes logaritmusát
e az Euler szám (e alapja a természetes logaritmusát, majd egy végtelen szám kerekített ő 2,71828)
N(d) a területen a normális eloszlás görbéje. Az n(d) értéke megtalálható a szabványos elosztási táblázatokban., A táblázat megtalálható bármely statisztikai tankönyvben, bármely opciószoftverben vagy a Wikipédián a “táblázat normál normál eloszlása”alatt.
a képlet maga látható, szükségünk van a következő változók kiszámításához az opció ára:
• az ár A mögöttes eszköz
• A Kötési ár
• az ideje, hogy A gyakorlat a Lehetőséget,
• A kockázatmentes kamatláb
• A volatilitás (szórás) az alap érték
Ezek rövidített az úgynevezett “Görögök”.,
A
változók információforrásai de hol kapjuk meg az egyes változók értékeit? A legegyszerűbb módja az, hogy közvetlen hozzáférést biztosít egy olyan információs rendszerhez, mint a Reuters vagy a Bloomberg. Mivel azonban ezek a rendszerek rendkívül drágák, ez nem vonatkozik mindenkire.
egy másik, többnyire nyilvánosan hozzáférhető forrás az értékpapírok és a határidős tőzsdék. A legtöbb csere késleltetett adatokat tesz közzé webhelyein. Ezzel szemben valós idejű adatokat adnak el maguknak a Reuters, a Bloomberg és a Co., A tiszta gyakorlathoz hozzávetőleges értékelés, valamint egy későbbi árellenőrzés elegendő időeltolódott adat (általában 15 perc ,de egyes cserék csak egy nappal késleltetett árat adnak adataiknak). Az időeltolódott adatok azonban már nem ideálisak nagyobb léptékű kereskedéshez.
a tőzsdén mindig megtalálja az alapul szolgáló eszköz árát, amelyre feltétlenül fontos változóként van szüksége.
Ha az opciókkal már kereskednek az alapul szolgáló határidős tőzsdéken, akkor láthatja az opciók implicit volatilitását., Akkor használja ezt a volatilitást, mert azt jelzi, hogy a nagy befektetési bankok professzionális piaci döntéshozói pontosan ezt a lehetőséget látják az alapul szolgáló ár ingadozási tartományában. Implicit módon ezt a volatilitást azért hívják, mert nem lehet közvetlenül olvasni bárhol, de csak a kereskedett opciókból “újraszámítják”.
a vélelmezett volatilitás – valamint az alapul szolgáló történelmi volatilitása-folyamatosan változik. Minden alkalommal, amikor frissíti az árat, módosítania kell a volatilitást is.,
Ha a pénzügyi piacon nem kereskednek opciókkal, akkor magának kell feltételeznie a volatilitást. Az alapul szolgáló történelmi volatilitást kiindulási pontként használhatja, amelyet az áradatok idősorai alapján számíthat ki, vagy ha szerencséd van, a tőzsde már kiszámította Önnek. De mindenképpen válasszon egy ésszerű időszakot! Ezt követően még mindig olyan kiigazításokat kell végrehajtania, amelyek tükrözik a jövőre vonatkozó elvárásait (azaz az opció időtartamát)., Ez könnyebben hangzik, mint valójában, mert senki sem ismeri a jövőt, ezért folyamatosan be kell állítania.