un ami ingénieur m’a récemment surpris en disant qu’il ne savait pas si le nombre 1 était Premier ou non. J’ai été surpris parce que chez les mathématiciens, 1 est universellement considéré comme non Premier.
la confusion commence avec cette définition qu’une personne pourrait donner de « premier”: un nombre premier est un nombre entier positif qui n’est divisible que par 1 et lui-même. Le numéro 1 est divisible par 1, et il est divisible par lui-même. Mais lui-même et 1 ne sont pas deux facteurs distincts., Est 1 Premier ou pas? Quand j’écris la définition du premier, dans un article, j’ai essayer d’enlever cette ambiguïté en disant un nombre premier a exactement deux facteurs distincts, 1 et lui-même, ou qu’un nombre premier est un nombre entier supérieur à 1, qui est divisible par 1 et par lui-même. Mais pourquoi aller à ces longueurs pour exclure 1?
ma formation mathématique m’a appris que la bonne raison pour laquelle 1 n’est pas considéré comme premier est le théorème fondamental de l’arithmétique, qui stipule que chaque nombre peut être écrit comme un produit de nombres premiers d’une manière exactement unique. Si 1 était premier, nous perdrions cette unicité., Nous pourrions écrire 2 1×2, ou 1×1×2, ou 1594827×2. Exclure 1 des nombres premiers lisse cela.
mon plan initial de la façon dont cet article irait était que j’expliquerais le théorème fondamental de l’arithmétique et que j’en finirais avec. Mais ce n’est vraiment pas si difficile de modifier l’énoncé du théorème fondamental de l’arithmétique pour résoudre le problème 1, et après tout, la question de mon ami a piqué ma curiosité: comment les mathématiciens ont-ils fusionné sur cette définition de premier?, Un coup d’œil rapide autour de certaines pages Wikipedia liées à la théorie des nombres révèle l’affirmation que 1 était considéré comme premier mais ne l’est plus. Mais un article de Chris Caldwell et Yeng Xiong montre que l’histoire du concept est un peu plus compliquée. J’ai apprécié ce sentiment dès le début de leur article: « premièrement, qu’un nombre (en particulier l’unité) soit un nombre premier est une question de définition, donc une question de choix, de contexte et de tradition, pas une question de preuve., Pourtant, les définitions ne sont pas faites au hasard; ces choix sont liés par notre utilisation des mathématiques et, surtout dans ce cas, par notre notation. »
Caldwell et Xiong commencent par des mathématiciens grecs classiques. Ils ne considéraient pas 1 comme un nombre de la même manière que 2, 3, 4, etc. sont des nombres. 1 était considéré comme une unité, et un certain nombre était composé de plusieurs unités. Pour cette raison, 1 ne pouvait pas être PREMIER – ce n’était même pas un nombre. Le mathématicien arabe du IXe siècle al-Kindī a écrit que ce n’était pas un nombre et donc pas pair ou impair., L’idée que 1 était le bloc de construction de tous les nombres, mais pas un nombre lui-même, a duré des siècles.
en 1585, le mathématicien Flamand Simon Stevin a souligné que lors de l’arithmétique en base 10, il n’y a pas de différence entre le chiffre 1 et les autres chiffres. À toutes fins utiles, 1 se comporte de la même manière que toute autre grandeur. Bien qu’elle n’ait pas été immédiate, cette observation a finalement conduit les mathématiciens à traiter 1 comme un nombre, comme tout autre nombre.
Jusqu’à la fin du 19ème siècle, certains mathématiciens impressionnants considéraient 1 premier, et d’autres non., Pour autant que je sache, ce n’était pas une question qui a causé des conflits; pour les questions mathématiques les plus populaires, La distinction n’était pas terriblement importante. Caldwell et Xiong citent G. H. Hardy comme le dernier grand mathématicien à considérer 1 comme premier. (Il l’a explicitement inclus comme un premier dans les six premières éditions d’un cours de mathématiques pures, qui ont été publiés entre 1908 et 1933. Il a mis à jour la définition en 1938 pour faire de 2 le plus petit nombre premier.)
l’article mentionne mais ne se penche pas sur certains des changements en mathématiques qui ont aidé à solidifier la définition de premier et à exclure 1., Plus précisément, un changement important a été le développement d’ensembles de nombres au-delà des entiers qui se comportent un peu comme des entiers.
dans l’exemple le plus élémentaire, nous pouvons nous demander si le nombre -2 est premier. La question peut sembler absurde, mais elle peut nous motiver à mettre en mots le rôle unique de 1 dans les nombres entiers. L’aspect le plus inhabituel de 1 dans les nombres entiers est qu’il a un inverse multiplicatif qui est aussi un entier. (Un inverse multiplicatif de le nombre x est un nombre qui, multiplié par x 1., Le nombre 2 a un inverse multiplicatif dans l’ensemble des nombres rationnels ou réels, 1/2: 1/2×2=1, mais 1/2 n’est pas un entier.) Le nombre 1 se trouve être son propre inverse multiplicatif. Aucun autre entier positif n’a d’inverse multiplicatif dans l’ensemble des entiers.* La propriété d’avoir un inverse multiplicatif est appelé une unité. Le nombre -1 est aussi une unité dans l’ensemble des entiers: encore une fois, c’est son propre inverse multiplicatif. Nous ne considérons pas les unités comme étant prime ou composite car vous pouvez les multiplier par certaines autres unités sans beaucoup changer., On peut alors penser que le nombre -2 comme pas si différent de 2; du point de vue de la multiplication, -2 est juste 2 fois une unité. Si 2 est premier, -2 devrait l’être aussi.
j’ai assidûment évité de définir prime dans le paragraphe précédent à cause d’un fait malheureux sur la définition de prime quand il s’agit de ces plus grands ensembles de nombres: c’est faux! Eh bien, ce n’est pas faux, mais c’est un peu contre-intuitif, et si j’étais la Reine de la théorie des nombres, Je n’aurais pas choisi pour le terme d’avoir la définition qu’il fait., Dans les nombres entiers positifs, chaque nombre premier p a deux propriétés:
le nombre p ne peut pas être écrit comme le produit de deux nombres entiers, dont aucun n’est une unité.
Chaque fois qu’un produit m×n est divisible par p, alors m ou n doit être divisible par p. (Pour vérifier ce que cela signifie la propriété sur un exemple, imaginez que m=10, n=6 et p=3.)
la première de ces propriétés est ce que nous pourrions considérer comme un moyen de caractériser les nombres premiers, mais malheureusement le terme pour cette propriété est irréductible. La deuxième propriété est appelée prime., Dans le cas des entiers positifs, bien sûr, les mêmes nombres satisfont les deux propriétés. Mais ce n’est pas vrai pour tous les ensembles de nombres intéressants.
par exemple, regardons l’ensemble des nombres de la forme a+b√-5, ou a+ib√5, où a et b sont deux entiers et i est la racine carrée de -1. Si vous multipliez les nombres 1+√5 et 1-√-5, vous obtenez 6. Bien sûr, vous obtenez également 6 Si vous multipliez 2 et 3, qui sont également dans cet ensemble de nombres, avec b=0. Chacun des nombres 2, 3, 1+√-5 et 1-√-5 ne peut pas être décomposé plus loin et écrit comme le produit de nombres qui ne sont pas des unités., (Si vous ne me croyez pas sur parole, ce n’est pas trop difficile de vous convaincre.), Mais le produit (1+√-5)(1-√-5) est divisible par 2, et 2 ne divise pas 1+√5 ou 1-√-5. (Encore une fois, vous pouvez le prouver à vous-même si vous ne me croyez pas.) Donc 2 est irréductible, mais il n’est pas premier. Dans cet ensemble de nombres, 6 peut être factorisé en nombres irréductibles de deux manières différentes.,
le nombre ci-dessus, que les mathématiciens pourraient appeler Z (prononcé « zee jouxte la racine carrée de moins cinq » ou « zed jouxte la racine carrée de moins cinq, pip pip, cheerio » selon ce que vous aimez appeler la dernière lettre de l’alphabet), a deux unités, 1 et -1. Mais il existe des ensembles de nombres similaires qui ont un nombre infini d’unités. Comme des ensembles comme celui-ci sont devenus des objets d’étude, il est logique que les définitions d’unité, irréductible et premier devraient être soigneusement délimitées., En particulier, s’il existe des ensembles de nombres avec un nombre infini d’unités, il devient plus difficile de comprendre ce que nous entendons par factorisation unique des nombres à moins que nous clarifiions que les unités ne peuvent pas être premières. Bien que je ne sois pas un historien des mathématiques ou un théoricien des nombres et que j’aimerais en savoir plus sur la façon dont ce processus s’est déroulé avant de spéculer davantage, je pense que C’est un développement auquel Caldwell et Xiong font allusion qui a motivé l’exclusion de 1 des nombres premiers.,
comme cela arrive si souvent, ma réponse initiale soignée et bien rangée pour expliquer pourquoi les choses sont comme elles sont a fini par n’être qu’une partie de l’histoire. Merci à mon ami d’avoir posé la question et de m’avoir aidé à en apprendre davantage sur l’histoire désordonnée de la primalité.
*Cette phrase a été modifiée après la publication pour préciser qu’aucun autre entier positif n’a un inverse multiplicatif qui est également un entier.