En mathématiques, une formule d’approximation linéaire est une approximation d’une fonction générale utilisant une fonction linéaire (plus précisément, une fonction affine). Ils sont largement utilisés dans la méthode des différences finies pour produire des méthodes de premier ordre pour résoudre ou approximer des solutions à des équations.
cette approximation est cruciale pour de nombreuses techniques numériques connues telles que la méthode D’Euler pour approximer les solutions aux équations différentielles ordinaires., L’idée d’utiliser des approximations linéaires repose sur la proximité de la ligne tangente au graphe de la fonction autour d’un point.
Formule
Cette leçon explique comment trouver une linéarisation de la fonction et comment l’utiliser pour faire une approximation linéaire. Cette méthode est utilisée assez souvent dans de nombreux domaines de la science, et elle nécessite de connaître un peu le calcul, en particulier, comment trouver un dérivé.,
plans tangents et Approximations linéaires
intuitivement, il semble clair que, dans un plan, une seule droite peut être tangente à une courbe en un point. Cependant, dans l’espace tridimensionnel, de nombreuses lignes peuvent être tangentes à un point donné. Si ces lignes se trouvent dans le même plan, elles déterminent le plan tangent à ce point. Une façon plus intuitive de penser à un plan tangent est de supposer que la surface est lisse à ce point (pas de coins). Ensuite, une ligne tangente à la surface à ce point dans n’importe quelle direction n’a pas de changements brusques de pente parce que la direction change en douceur., Par conséquent, dans un voisinage assez petit autour du point, un plan tangent touche la surface à ce point seulement.
lignes tangentes et linéarisation
passons en revue un fait de base sur les dérivées. La valeur de la dérivée en un point spécifique, x = a, mesure la pente de la courbe, y = f(x), à ce point. En d’autres termes, f ‘(a) = pente de la droite tangente à A.,
maintenant, la ligne tangente est spéciale car c’est la ligne qui correspond le plus à la direction de la courbe, à la valeur X spécifique que vous sont intéressés par. Notez à quel point les valeurs y de la fonction et de la ligne tangente sont proches lorsque x est près du point où la ligne tangente rencontre la courbe.,
donc, si la courbe y = f(x) est beaucoup trop compliquée à utiliser, et si vous n’êtes intéressé que par les valeurs de la fonction près d’un point particulier, vous pouvez jeter la fonction et utiliser simplement la ligne tangente. Eh bien, ne jetez pas vraiment la fonction. . . on en aura peut-être besoin plus tard!
la Formule De Linéarisation
Alors, comment trouvez-vous la linéarisation d’une fonction f en un point x = a?, Rappelez-vous que l’équation d’une droite peut être déterminée si vous connaissez deux choses:
- la pente de la droite, m
- tout point unique que la ligne traverse, (a, b).
nous branchons ces informations dans la forme Point-pente, ce qui nous donne l’équation de la droite. (Ce n’est que de l’algèbre, les gens; pas encore de calcul.)
y – b = M(x–a)
Mais, dans des problèmes comme ceux-ci, vous ne recevrez pas de valeurs pour b ou m. Au Lieu de cela, vous devez les trouver vous-même. , Premièrement m = f ‘(a), parce que la dérivée mesure la pente, et deuxièmement, b = f(A), parce que la fonction d’origine mesure les valeurs Y.
formule D’Approximation linéaire locale
l’approximation linéaire est le processus de recherche de l’équation d’une droite qui est l’estimation la plus proche d’une fonction pour une valeur donnée de X. l’approximation linéaire est également connue sous le nom d’approximation de la ligne tangente, et elle est utilisée pour simplifier les formules, À l’observation infinitésimalement proche, une courbe commence à ressembler à une ligne droite, de sorte que l’approximation linéaire peut imiter de très près la fonction. Pour une fonction f(x) à valeur réelle deux fois différentiable, 
, où R2 est le terme restant. L’approximation linéaire est alors donnée par 
. Cette approximation est équivalente à l’équation pour la droite tangente à A.,
Applications des Approximations linéaires
optique
L’optique gaussienne est une technique en optique géométrique qui décrit le comportement des rayons lumineux dans les systèmes optiques en utilisant l’approximation paraxiale, dans laquelle seuls les rayons qui font de petits angles avec l’axe optique du système sont considérés. Dans cette approximation, les fonctions trigonométriques peuvent être exprimées comme des fonctions linéaires des angles. L’optique gaussienne s’applique aux systèmes dans lesquels toutes les surfaces optiques sont plates ou sont des parties d’une sphère., Dans ce cas, des formules explicites simples peuvent être données pour des paramètres d’un système d’imagerie tels que la distance focale, le grossissement et la luminosité, en termes de formes géométriques et de propriétés matérielles des éléments constitutifs.
période d’oscillation
la période d’oscillation d’un pendule à gravité simple dépend de sa longueur, de la force locale de la gravité et, dans une faible mesure, de l’angle maximal que le pendule oscille par rapport à la verticale, θ0, appelé amplitude. Il est indépendant de la masse du bob., La vraie période T d’un pendule simple, le temps nécessaire pour un cycle complet d’un pendule à gravité simple idéal, peut être écrite sous plusieurs formes différentes.