insinöörikaverini yllätti hiljattain sanomalla, ettei ollut varma, oliko numero 1 prime vai ei. Olin yllättynyt, koska keskuudessa matemaatikot, 1 pidetään yleisesti ei-prime.
sekavuus alkaa tämä määritelmä henkilö saattaa antaa ”prime”: alkuluku on positiivinen kokonaisluku, joka on vain jaollinen luvulla 1 ja itsellään. Luku 1 on jaollinen luvulla 1, ja se on jaollinen itse. Mutta itse ja 1 eivät ole kaksi erillistä tekijää., Onko 1 prime vai ei? Kun kirjoitan määritelmä prime artikkelissa, olen yrittänyt poistaa sen monitulkintaisuuden sanomalla, prime numero on tasan kaksi eri tekijää, 1 ja itse, tai että on prime on kokonaisluku suurempi kuin 1, joka on vain jaollinen luvulla 1 ja itsellään. Mutta miksi mennä niin pitkälle sulkea 1?
Oma matemaattinen koulutus opetti minulle, että hyvä syy 1 ei pidetä prime on keskeinen lause, aritmeettinen, jossa todetaan, että jokainen numero voidaan kirjoittaa tuotteen primes täsmälleen yhdellä tavalla. Jos 1 olisi prime, menettäisimme sen ainutlaatuisuuden., Voimme kirjoittaa 2 1×2 tai 1×1×2, tai 1594827×2. Lukuun ottamatta 1 primes tasoittaa tämän.
alkuperäinen suunnitelmani siitä, miten tämä artikkeli menisi oli, että selitän aritmeettisen peruslauseen ja se tehdään sen kanssa. Mutta se on oikeastaan ole niin vaikea muuttaa lausunnon keskeinen lause, aritmeettinen osoite 1 ongelma, ja sen jälkeen kaikki, ystäväni on kysymys herätti uteliaisuuteni: miten matemaatikot sulautuvat yhteen tämän määritelmän prime?, Pintapuolisesti noin joitakin Wikipedia-sivuja, jotka liittyvät lukuteoria ilmi väite, että 1 käytetään pidettävä prime, mutta ei ole enää. Mutta Chris Caldwellin ja Yeng Xiongin paperi osoittaa, että konseptin historia on hieman monimutkaisempi. Arvostin tämä näkemys alusta niiden artikkelissa: ”Ensinnäkin, onko numero (erityisesti unity) on tärkein määriteltävä asia, joten valinta, tausta ja perinne, ole todisteita., Määritelmiä ei kuitenkaan tehdä sattumanvaraisesti, vaan näitä valintoja sitoo matematiikan käyttö ja erityisesti tässä tapauksessa notaatiomme.”
Caldwell ja Xiong aloittavat klassisista kreikkalaisista matemaatikoista. He eivät pitäneet 1 olla useita samalla tavalla, että 2, 3, 4, ja niin edelleen ovat numeroita. 1: tä pidettiin yksikkönä, ja joukko koostui useista yksiköistä. Siitä syystä 1 ei olisi voinut olla prime — se ei ollut edes numero. 800-luvun arabimatemaatikko al-Kindī kirjoitti, että se ei ollut numero eikä siksi parillinen tai pariton., Näkemys siitä, että 1 oli rakennuspalikka kaikille luvuille, mutta ei itse lukua, kesti vuosisatoja.
Vuonna 1585, Flaamilainen matemaatikko Simon Stevin huomautti, että kun teet aritmeettinen base 10, ei ole eroa välillä on numero 1 ja kaikki muut numerot. Kaikkia tarkoituksia ja tarkoituksia varten 1 käyttäytyy samalla tavalla kuin mikä tahansa muu magnitudi. Vaikka se ei ollut välitöntä, tämä havainto lopulta johti matemaatikot käsitellä 1 kuin numero, aivan kuten mikä tahansa muu numero.
Kautta loppuun 19th century, jotkut vaikuttava matemaatikot katsoi, 1 prime, ja jotkut eivät., Sikäli kuin voin kertoa, se ei ole asia, joka aiheutti kiistoja; suosituin matemaattisia kysymyksiä, ero ei ole hirveän tärkeä. Caldwell ja Xiong mainita G. H. Hardy kuin viimeinen suuri matemaatikko harkita 1 on alkuluku. (Hän nimenomaisesti sisällyttänyt sen prime kuusi ensimmäistä painoksia kurssin puhdasta matematiikkaa, jotka julkaistiin vuosina 1908 ja 1933. Hän päivitti määritelmän vuonna 1938, jotta 2 pienin prime.)
artikkelissa mainitaan, mutta ei kaivaa joitakin muutoksia, matematiikan, joka auttoi jähmettyä määritelmä prime ja pois lukien 1., Erityisesti yksi tärkeä muutos oli kehittää sarjaa numeroita kuin kokonaislukuja, jotka käyttäytyvät hieman kuin kokonaislukuja.
aivan perusesimerkissä voidaan kysyä, onko numero -2 alkuluku. Kysymys voi tuntua järjetöntä, mutta se voi motivoida meitä pukea sanoiksi ainutlaatuinen rooli 1 koko numerot. Kaikkein epätavallinen näkökohta 1 koko numerot on, että se on multiplicative käänteisesti, joka on myös kokonaisluku. (Monilukuinen käänteisluku X on luku, joka kerrottuna X antaa 1., Numero 2 on multiplicative käänteinen joukko järkeviä tai oikeita numeroita, 1/2: 1/2×2=1, mutta 1/2 ei ole kokonaisluku.) Luku 1 sattuu olemaan oma kerrannaisvaikutuksensa käänteisesti. Mikään muu positiivinen kokonaisluku ei ole multiplikatiivinen käänteisluku kokonaislukujen joukon sisällä.* Kerrannaisvaikutuksen käänteisyyttä kutsutaan yksiköksi. Luku -1 on myös kokonaislukujen joukon sisällä oleva yksikkö: jälleen se on oma kerrannaisvaikutuksensa käänteisesti. Emme pidä yksiköitä joko prime tai komposiitti, koska voit moninkertaistaa ne tiettyjen muiden yksiköiden muuttamatta paljon., Voimme sitten ajatella määrä -2 ei niin erilainen kuin 2; näkökulmasta kerto, -2 on vain 2 kertaa yksikkö. Jos 2 on prime, -2 pitäisi olla samoin.
olen ahkerasti välttää määrittelemällä prime edellisessä kohdassa, koska valitettava tosiasia määritelmä prime, kun se tulee nämä suuremmat sarjaa numeroita: se on väärin! No, se ei ole väärin, mutta se on hieman counterintuitive, ja jos olisin kuningatar ja lukuteoria, en olisi valittu termi on määritelmän se ei., Positiivinen kokonaislukuja, jokainen alkuluku p on kaksi ominaisuuksia:
numero s voi olla kirjallinen kuten tuotteen kahden kokonaislukuja, joista kumpikaan yksikkö.
Aina kun tuote on m×n on jaollinen luvulla p, niin m tai n on jaollinen p. (Voit tarkistaa, mitä tämä ominaisuus merkitsee esimerkki, kuvitella, että m=10, n=6 ja p=3.)
ensimmäinen näistä ominaisuuksista on, mitä voisimme ajatella tapa luonnehtia alkulukuja, mutta valitettavasti termi, että omaisuus on jakamaton. Toinen kiinteistö on nimeltään prime., Kun kyseessä on positiivinen kokonaislukua, tietenkin, samat numerot täyttävät molemmat ominaisuudet. Mutta se ei pidä paikkaansa jokaisesta mielenkiintoisesta numerosarjasta.
esimerkkinä, katsotaanpa asetettu numerot muodossa a+b√-5, tai a+ib√5, missä a ja b ovat kokonaislukuja ja i on neliöjuuri -1. Jos kerrot numerot 1+√-5 ja 1-√-5, saat 6. Tietenkin saat myös 6, Jos kerrot 2 ja 3, jotka ovat myös tässä numerosarjassa, jossa b=0. Kunkin numerot 2, 3, 1+√-5, ja 1-√-5 ei voida jakaa edelleen ja kirjoitettu tuotteen numeroita, jotka eivät ole yksiköitä., (Jos et usko sanaani siitä, se ei ole liian vaikea vakuuttaa itse.), Mutta tuote (1+√-5)(1-√-5) on jaollinen luvulla 2, ja 2 ei jaa joko 1+√-5 tai 1-√-5. (Jälleen kerran, voit todistaa sen itsellesi, jos et usko minua.) Joten 2 on irreducible, mutta se ei ole prime. Tässä numerojoukossa 6 voidaan laskea irreducible-numeroiksi kahdella eri tavalla.,
määrä asettaa yläpuolella, joka matemaatikot voisi kutsua Z (lausutaan ”zee vieretysten neliöjuuri negatiivinen viisi” tai ”zed vieretysten neliöjuuri negatiivinen viisi, pip-pip, cheerio” riippuen siitä, mitä haluat soittaa viimeinen kirjain), on kaksi yksikköä, 1 ja -1. Mutta on olemassa samanlaisia lukusarjoja, joilla on ääretön määrä yksiköitä. Kuten tämänkaltaisista sarjoista tuli tutkimuksen kohteita, on järkevää, että yksikön määritelmät, irreducible ja prime olisi määriteltävä huolellisesti., Erityisesti, jos on olemassa useita asetetaan ääretön määrä yksiköitä, se saa vaikeampaa selvittää, mitä me tarkoitamme ainutlaatuinen factorization numerot, ellemme selventää, että yksiköt eivät voi olla prime. Kun en ole historioitsija matematiikan tai useita teoreetikko ja olisi kiva lukea enemmän siitä, miten tämä prosessi tapahtui ennen kuin spekuloidaan edelleen, mielestäni tämä on yksi kehityksen Caldwell ja Xiong viittaavat, että motivoitunut poissulkeminen 1 valitse primes.,
kuten niin usein käy, alkuperäinen siisti ja siisti vastaukseni siitä, miksi asiat ovat niin kuin ne päätyvät vain osaksi tarinaa. Kiitos ystävälleni, että kysyit kysymyksen ja autoit minua oppimaan lisää alkukantaisuuden sotkuisesta historiasta.
*Tämä lause on muokattu julkaisemisen jälkeen selventää, että mitään muuta positiivinen kokonaisluku on multiplicative käänteinen, joka on myös kokonaisluku.