desde la década de 1970, el modelo de precios de opciones desarrollado por Robert Merton, Myron Scholes y Fischer Black ha existido, y todavía se utiliza en la práctica para calcular el valor de las opciones. Desde entonces, el modelo ha sufrido cambios repetidamente, pero se ha mantenido más o menos igual en su diseño básico., El modelo de los tres científicos incluso resultó tan exitoso que Merton y Scholes fueron galardonados con el Premio Nobel de Economía en 1997. Black había muerto en 1995. Aunque el modelo se llama correctamente el modelo Black-Scholes-Merton, en la práctica Merton ya no se menciona y en aras de la simplicidad, casi todos los libros de texto, practicantes y académicos de hoy en día se refieren al modelo como el modelo Black-Scholes.
el modelo de Black Scholes es básicamente muy similar al modelo de árbol binomial que ya conocemos., Sin embargo, aquí los períodos de tiempo se dividen en un número casi infinito de subperíodos. Las secciones son tan pequeñas que se fusionan entre sí. Por lo tanto, un sistema de tiempo continuo (Engl. modelo de tiempo continuo). El modelo Black Scholes es el modelo tiempo-continuo del modelo binomial.
supuestos básicos en el modelo Black-Scholes
* la opción es el estilo europeo.
• no hay dividendos u otros flujos de efectivo durante el plazo.
• no Hay costos de transacción.,
• distribución Normal: los rendimientos de los activos subyacentes se distribuyen normalmente.
* La tasa de interés Libre de riesgo se conoce y es constante durante el plazo de la opción.
* la volatilidad (rango de fluctuación del precio) del subyacente se conoce y es constante durante el plazo de la opción.
Excursus on steady interest (Engl. composición continua), el logaritmo y el logaritmo natural
supongamos que un valor vale 10 euros hoy. Después de un año, el valor de la garantía ha aumentado a 11 euros, es decir, un 10%., Sin embargo, si este aumento de valor, es decir, este rendimiento, se remunera de forma continua, este rendimiento se calcula utilizando el logaritmo natural. Este logaritmo natural se llama ln en matemáticas. En nuestro ejemplo, el rendimiento sería ln(1.10)=0.0953 que corresponde a 9.53%. Si estos retornos que generan intereses continuamente se distribuyen normalmente, hablamos de retornos distribuidos lognormalmente. El modelo Black-Scholes funciona con estas distribuciones lognormales!,>
el valor de la Opción Call es: \( c=S_{0}*N(d_{1})-Ke^{-r^{c}T}N(d_{2}) \)
el valor de la Opción Put es: \( p=Ke^{-r^{c}T}\left-S_{0}\left \)
donde \( d_{1}=\frac{ln(S_{0}/K)+\leftT}{\sigma\sqrt{T}} \)
y \( d_{2}=d_{1}-\sigma\sqrt{T} \)
\( S_{0} \) es el precio en el Basado en el tiempo \( T_{0} \)
c es el precio de la Llamada
p es el precio de la Pone
X es el Strike de la Opción
\( r^{c} \) es la Base continua, las tasas de interés, riesgo de tasa de interés libre
T es el período de tiempo hasta el vencimiento de la Opción, muestran en las Piezas de un año (por ejemplo,,B. 1 mes = 1/12 1 día = 1/365, ect.)
σ («Sigma») es la volatilidad, es decir, la desviación estándar anualizada de los rendimientos del activo subyacente
\( σ^{2}\) es la varianza del valor base del ingreso
ln es el logaritmo natural
e es el número de Euler (e es la base del logaritmo natural y es un número infinito redondeado ella es 2,71828)
N(d) es el área bajo la curva de distribución normal. El valor de N (d) se puede encontrar en tablas de distribución estándar., La tabla se puede encontrar en cualquier libro de texto para estadísticas, en cualquier software de opción o en Wikipedia bajo «distribución normal estándar de tabla».
como se puede ver la fórmula en Sí, necesitamos las siguientes variables para el cálculo de los precios de las opciones:
• el precio del activo subyacente
• el precio de ejercicio
• El tiempo para el ejercicio de nuestra opción
• La tasa de interés Libre de riesgo
• la volatilidad (desviación estándar) el valor base
Estos se abrevian con los llamados «Griegos».,
fuentes de información para las variables
¿pero dónde obtenemos los valores para las variables individuales? La forma más fácil es tener acceso directo a un sistema de información como Reuters o Bloomberg. Sin embargo, dado que estos sistemas son extremadamente caros, esto no se aplica a todos.
otra fuente, en su mayoría de acceso público, son las bolsas de valores y futuros. La mayoría de los intercambios publican datos retrasados en sus sitios web. Por otro lado, ellos mismos venden datos en tiempo real a Reuters, Bloomberg and Co., Para un ejercicio puro, una valoración aproximada, así como una verificación de precios posterior, los datos con retraso son suficientes (por lo general son 15 minutos, pero algunos intercambios dan sus datos solo un día de retraso del precio). Sin embargo, los datos con retardo de tiempo ya no son ideales para operar a mayor escala.
en la bolsa de valores siempre encontrará el precio del activo subyacente, que necesita absolutamente como una variable importante.
si las opciones ya se negocian en las bolsas de futuros en su subyacente, puede ver la volatilidad implícita de las opciones allí., Luego use esta volatilidad porque indica cómo los creadores de mercado profesionales de grandes bancos de inversión ven el rango de fluctuación en el precio del subyacente exactamente para esta opción. Implícitamente, esta volatilidad se llama porque no se puede leer directamente en cualquier lugar, sino que solo se «recalcula» de las opciones negociadas.
La volatilidad implícita, así como la volatilidad histórica del subyacente – está cambiando constantemente. Cada vez que actualice su precio, también debe ajustar la volatilidad.,
si no se negocian opciones en su subyacente en el mercado financiero, debe hacer suposiciones para la volatilidad usted mismo. Puede usar la volatilidad histórica en el subyacente como punto de partida, que puede calcular sobre la base de series temporales de los datos de precios usted mismo o, si tiene suerte, ya ha sido calculado para usted por la bolsa de valores. Pero asegúrese de elegir un período razonable! Después de eso, todavía necesita hacer ajustes que reflejen sus expectativas para el futuro (es decir, el plazo de su opción)., Esto suena más fácil de lo que realmente es, porque nadie conoce el futuro, y por lo tanto tendrá que adaptarse constantemente.