o: cómo evitar la división larga polinómica al encontrar factores
¿recuerdas haber hecho la división en aritmética?
«7 dividido por 2 es igual a 3 con un resto de 1»
Cada parte de la división de los nombres de:
Que se puede expresar como una suma similar a esto:
Polinomios
Bueno, también podemos dividir polinomios.,
f(x) ÷ d(x) = q(x) con un resto de r(x)
pero es mejor escribirlo como una suma como esta:
como en este ejemplo usando la división larga polinómica:
pero necesitas saber una cosa más:
de R(X) es siempre menor que D(x)
digamos que dividimos por un polinomio de grado 1 (como «x−3») el resto tendrá grado 0 (En otras palabras una constante, como «4»).,dividir f(x) por el simple polinomio x−c, se obtiene:
f(x) = (x−c)·q(x) + r(x)
x−c es de grado 1, por lo que r(x) debe tener el grado 0, así que solo es una constante r :
f(x) = (x−c)·q(x) + r
Ahora a ver qué pasa cuando tenemos x igual a c:
Así, obtenemos esto:
El Teorema del Resto:
Cuando nos dividir un polinomio f(x) por x−c el resto es f(c)
Así que para encontrar el resto después de dividir por x-c no necesitamos hacer ninguna división:
Sólo calcular f(c).,
veamos que en la práctica:
El teorema del Factor
ahora …
¿Qué pasa si calculamos f (c) y es 0?
… eso significa que el resto es 0, y …
… (x-c) debe ser un factor del polinomio!
vemos esto cuando dividimos números enteros. Por ejemplo 60 ÷ 20 = 3 sin resto. Entonces 20 debe ser un factor de 60.,
Ejemplo: x2−3x−4
f(4) = (4)2-3(4)-4 = 16-12-4 = 0
de modo que (x−4) debe ser un factor de x2−3x−4
Y por lo tanto tenemos:
El Teorema de Factor:
Cuando f(c)=0 entonces x−c es un factor de f(x)
Y al revés también:
Cuando x−c es un factor de f(x) entonces f(c)=0
¿por Qué Es Útil?
saber que x-c es un factor es lo mismo que saber que c es una raíz (y viceversa).,
El factor «x−c» y la raíz «c» son lo mismo
conoce uno y conocemos el otro
por una cosa, significa que podemos comprobar rápidamente si (x−c) es un factor del polinomio.
Resumen
El Teorema del Resto:
- Cuando queremos dividir un polinomio f(x) por x−c el resto es f(c)
El Teorema de Factor:
- Cuando f(c)=0, entonces x−c es un factor de f(x)
- Cuando x−c es un factor de f(x) entonces f(c)=0