un ingeniero amigo mío recientemente me sorprendió diciendo que no estaba seguro de si el número 1 era primo o no. Me sorprendió porque entre los matemáticos, 1 es universalmente considerado como no primo.
la confusión comienza con esta definición que una persona podría dar de «Primo»: un número primo es un número entero positivo que solo es divisible por 1 y por sí mismo. El número 1 es divisible por 1, y es divisible por sí mismo. Pero sí mismo y 1 no son dos factores distintos., ¿Es 1 primo o no? Cuando escribo la definición de Primo en un artículo, trato de eliminar esa ambigüedad diciendo que un número primo tiene exactamente dos factores distintos, 1 y sí mismo, o que un primo es un número entero mayor que 1 que solo es divisible por 1 y sí mismo. Pero ¿por qué ir a esos extremos para excluir 1?
mi formación matemática me enseñó que la buena razón para que 1 no se considere primo es el teorema fundamental de la aritmética, que establece que cada número se puede escribir como un producto de primos de una manera exacta. Si 1 fuera primo, perderíamos esa singularidad., Podríamos escribir 2 1×2, 1×1×2, o 1594827×2. Excluir 1 de los primos suaviza eso.
mi plan original de cómo iría este artículo era que explicaría el teorema fundamental de la aritmética y terminaría con él. Pero realmente no es tan difícil modificar la declaración del teorema fundamental de la aritmética para abordar el problema de 1, y después de todo, la pregunta de mi amigo despertó mi curiosidad: ¿cómo se unieron los matemáticos en esta definición de Primo?, Una mirada superficial alrededor de algunas páginas de Wikipedia relacionadas con la teoría de números revela la afirmación de que 1 solía ser considerado primo, pero ya no lo es. Pero un artículo de Chris Caldwell y Yeng Xiong muestra que la historia del concepto es un poco más complicada. Aprecié este sentimiento desde el comienzo de su artículo: «primero, si un número (especialmente la unidad) es un primo es una cuestión de definición, por lo que es una cuestión de elección, contexto y tradición, no una cuestión de prueba., Sin embargo, las definiciones no se hacen al azar; estas elecciones están limitadas por nuestro uso de las matemáticas y, especialmente en este caso, por nuestra Notación.»
Caldwell and Xiong start with classical Greek mathematicians. No consideraban que 1 fuera un número de la misma manera que 2, 3, 4, y así sucesivamente son números. 1 se consideró una unidad, y un número se compuso de múltiples unidades. Por esa razón, 1 no podría haber sido primo-Ni siquiera era un número. El matemático árabe del siglo IX al-Kindī escribió que no era un número y, por lo tanto, ni par ni impar., La opinión de que 1 era el bloque de construcción para todos los números, pero no un número en sí, duró siglos.
en 1585, el matemático Flamenco Simon Stevin señaló que al hacer aritmética en base 10, no hay diferencia entre el dígito 1 y cualquier otro dígito. A todos los efectos, 1 se comporta de la misma manera que cualquier otra magnitud. Aunque no fue inmediata, esta observación finalmente llevó a los matemáticos a tratar 1 como un número, al igual que cualquier otro número.
a finales del siglo XIX, algunos matemáticos impresionantes consideraron 1 primo, y algunos no lo hicieron., Por lo que puedo decir, no fue un asunto que causó conflictos; para las preguntas matemáticas más populares, la distinción no era terriblemente importante. Caldwell y Xiong citan a G. H. Hardy como el último gran matemático en considerar 1 como Primo. (Lo incluyó explícitamente como primo en las primeras seis ediciones de un curso de matemáticas puras, que se publicaron entre 1908 y 1933. Actualizó la definición en 1938 para hacer 2 el primo más pequeño.)
el artículo menciona pero no profundiza en algunos de los cambios en matemáticas que ayudaron a solidificar la definición de Primo y excluyente 1., Específicamente, un cambio importante fue el desarrollo de conjuntos de números más allá de los enteros que se comportan de alguna manera como los enteros.
en el ejemplo más básico, podemos preguntar si el número -2 es primo. La pregunta puede parecer sin sentido, pero puede motivarnos a poner en palabras el papel único de 1 en los números enteros. El aspecto más inusual de 1 en los números enteros es que tiene un inverso multiplicativo que también es un entero. (Un inverso multiplicativo del número x es un número que cuando se multiplica por x da 1., El número 2 tiene un inverso multiplicativo en el conjunto de los números racionales o reales, 1/2: 1/2×2 = 1, pero 1/2 no es un entero.) El número 1 pasa a ser su propio inverso multiplicativo. Ningún otro entero positivo tiene un inverso multiplicativo dentro del conjunto de enteros.* La propiedad de tener un inverso multiplicativo se llama ser una unidad. El número -1 es también una unidad dentro del conjunto de enteros: de nuevo, es su propio inverso multiplicativo. No consideramos que las unidades sean primas o compuestas porque puedes multiplicarlas por otras unidades sin cambiar mucho., Entonces podemos pensar en el número -2 como no tan diferente de 2; desde el punto de vista de la multiplicación, -2 es solo 2 veces una unidad. Si 2 es primo, -2 debe ser también.
evité asiduamente definir primo en el párrafo anterior debido a un hecho desafortunado sobre la definición de Primo cuando se trata de estos conjuntos más grandes de números: ¡está mal! Bueno, no está mal, pero es un poco contradictorio, y si yo fuera la reina de la teoría de números, no habría elegido que el término tenga la definición que tiene., En los números enteros positivos, cada número primo p tiene dos propiedades:
el número p no se puede escribir como el producto de dos números enteros, ninguno de los cuales es una unidad.
siempre que un producto m×n sea divisible por p, entonces m o n debe ser divisible por P. (para ver lo que significa esta propiedad en un ejemplo, imagine que m = 10, n=6 y p=3.)
la primera de estas propiedades es lo que podríamos pensar como una forma de caracterizar números primos, pero desafortunadamente el término para esa propiedad es irreductible. La segunda propiedad se llama prime., En el caso de los enteros positivos, por supuesto, los mismos números satisfacen ambas propiedades. Pero eso no es cierto para cada conjunto interesante de números.
Como ejemplo, veamos el conjunto de números de la forma a+b√-5, o a+ib√5, donde a y b son ambos enteros y i es la raíz cuadrada de -1. Si multiplicas los números 1 + √-5 y 1 – √-5, obtienes 6. Por supuesto, también obtienes 6 si multiplicas 2 y 3, que también están en este conjunto de números, con b = 0. Cada uno de los números 2, 3, 1 + √-5, y 1 – √-5 no se pueden desglosar más y escribir como el producto de números que no son unidades., (Si no te fías de mi palabra, no es muy difícil convencerte a ti mismo.), Pero el producto (1+√-5)(1-√-5) es divisible por 2, y 2 no divide a 1+√-5 o 1-√-5. (Una vez más, puedes demostrártelo a ti mismo si no me crees.) Así que 2 es irreductible,pero no es primo. En este conjunto de números, 6 se puede factorizar en números irreductibles de dos maneras diferentes.,
el número establecido anteriormente, que los matemáticos podrían llamar Z (pronunciado «zee adjoin the square root of negative five» o «zed adjoin the square root of negative five, pip pip, cheerio» dependiendo de lo que te gusta llamar la última letra del alfabeto), tiene dos unidades, 1 y -1. Pero hay conjuntos de números similares que tienen un número infinito de unidades. Como conjuntos como este se convirtieron en objetos de estudio, tiene sentido que las definiciones de unidad, irreducible y primo necesitarían ser cuidadosamente delineadas., En particular, si hay conjuntos de números con un número infinito de unidades, se hace más difícil averiguar lo que queremos decir con la factorización única de números a menos que aclaremos que las unidades no pueden ser primos. Si bien no soy un historiador de matemáticas o un teórico de números y me encantaría leer más sobre exactamente cómo se llevó a cabo este proceso antes de especular más, creo que este es un desarrollo al que Caldwell y Xiong aluden que motivó la exclusión de 1 de los números primos.,
como sucede tan a menudo, mi respuesta inicial ordenada y ordenada de por qué las cosas son como son terminó siendo solo parte de la historia. Gracias a mi amigo por hacer la pregunta y ayudarme a aprender más sobre la historia desordenada de la primalidad.
* esta oración fue editada después de la publicación para aclarar que ningún otro entero positivo tiene un inverso multiplicativo que también sea un entero.