en matemáticas, una fórmula de aproximación lineal es una aproximación de una función general utilizando una función lineal (más precisamente, una función afín). Son ampliamente utilizados en el método de diferencias finitas para producir métodos de primer orden para resolver o aproximar soluciones a ecuaciones.
esta aproximación es crucial para muchas técnicas numéricas conocidas como el método de Euler para aproximar soluciones a ecuaciones diferenciales ordinarias., La idea de usar aproximaciones lineales descansa en la cercanía de la recta tangente a la gráfica de la función alrededor de un punto.
Fórmula
Esta lección muestra cómo encontrar una linealización de una función y cómo usarlo para hacer una aproximación lineal. Este método se utiliza muy a menudo en muchos campos de la ciencia, y requiere saber un poco sobre el cálculo, específicamente, cómo encontrar una derivada.,
planos tangentes y aproximaciones lineales
intuitivamente, parece claro que, en un plano, solo una recta puede ser tangente a una curva en un punto. Sin embargo, en el espacio tridimensional, muchas líneas pueden ser tangentes a un punto dado. Si estas líneas se encuentran en el mismo plano, determinan el plano tangente en ese punto. Una forma más intuitiva de pensar en un plano tangente es asumir que la superficie es lisa en ese punto (sin esquinas). Entonces, una línea tangente a la superficie en ese punto en cualquier dirección no tiene ningún cambio brusco en la pendiente porque la dirección cambia suavemente., Por lo tanto, en un vecindario lo suficientemente pequeño alrededor del punto, un plano tangente toca la superficie solo en ese punto.
líneas tangentes y linealización
revisemos un hecho básico sobre las derivadas. El valor de la derivada en un punto específico, x = a, se mide la pendiente de la curva y = f(x) en ese punto. En otras palabras, f ‘ (a) = pendiente de la recta tangente en a.,
ahora, la línea tangente es especial porque es la línea que coincide más estrechamente con la dirección de la curva, en el valor x específico que están interesados en. Observe cuán cerca están los valores y de la función y la recta tangente cuando x está cerca del punto donde la recta tangente se encuentra con la curva.,
por lo tanto, si la curva y = f(x) es demasiado complicada para trabajar con, y si solo está interesado en los valores de la función cerca de un punto particular, entonces podría tirar la función y simplemente usar la línea tangente. Bueno, no desperdicies la función. . . ¡puede que lo necesitemos más tarde!
fórmula para la linealización
entonces, ¿cómo encuentra la linealización de una función f en un punto x = a?, Recuerda que la ecuación de una recta se puede determinar si sabes dos cosas:
- La pendiente de la recta, M
- cualquier punto único por el que pase la recta, (a, b).
conectamos estas piezas de información en la forma punto-pendiente, y esto nos da la ecuación de la línea. (Esto es solo álgebra, amigos; todavía no hay cálculo.)
y – b = m (x–a)
pero, en problemas como estos, no se le darán valores para b O m. en su lugar, tiene que encontrarlos usted mismo., En primer lugar m = f ‘(a), porque la derivada mide la pendiente, y en segundo lugar, b = f (a), porque la función original mide los valores y.
fórmula de aproximación lineal Local
la aproximación lineal es el proceso de encontrar la ecuación de una línea que es la estimación más cercana de una función para un valor dado de x. la aproximación lineal también se conoce como aproximación de línea tangente, y se usa para simplificar las fórmulas asociadas con funciones trigonométricas, especialmente en óptica., En la observación infinitesimalmente cercana, una curva comienza a parecerse a una línea recta, por lo que la aproximación lineal puede imitar muy de cerca la función. Para una función de valor real dos veces diferenciable f (x), 
, donde R2 es el término restante. La aproximación lineal, entonces, está dada por 
. Esta aproximación es equivalente a la ecuación para la recta tangente en a.,
aplicaciones de aproximaciones lineales
óptica
La óptica Gaussiana es una técnica en óptica geométrica que describe el comportamiento de los rayos de luz en sistemas ópticos mediante el uso de la aproximación paraxial, en la que solo se consideran los rayos que hacen pequeños ángulos con el eje óptico del sistema. En esta aproximación, las funciones trigonométricas se pueden expresar como funciones lineales de los ángulos. La óptica gaussiana se aplica a sistemas en los que todas las superficies ópticas son planas o son porciones de una esfera., En este caso, se pueden dar fórmulas explícitas simples para los parámetros de un sistema de imagen, como la distancia focal, la ampliación y el brillo, en términos de las formas geométricas y las propiedades materiales de los elementos constitutivos.
período de oscilación
el período de oscilación de un péndulo de gravedad simple depende de su longitud, la fuerza local de la gravedad y, en pequeña medida, del ángulo máximo que el péndulo se aleja de la vertical, θ0, llamada amplitud. Es independiente de la masa del bob., El verdadero período T de un péndulo simple, el tiempo necesario para un ciclo completo de un péndulo de gravedad simple ideal, se puede escribir en varias formas diferentes.