la distribución de Poisson es en realidad un tipo importante de fórmula de distribución de probabilidad. Al igual que en la distribución binomial, no sabremos el número de ensayos, o la probabilidad de éxito en un determinado camino. El número promedio de éxitos se dará durante un intervalo de tiempo determinado. El número promedio de éxitos se llama «Lambda» y se denota con el símbolo \(\lambda\). En este artículo, discutiremos la fórmula de distribución de Poisson con ejemplos. ¡Comencemos a aprender!,
Distribución de Poisson Fórmula
Concepto de distribución de Poisson
El matemático francés Siméon-Denis Poisson desarrollado esta función en 1830. Esto se usa para describir el número de veces que un jugador puede ganar un juego de azar raramente ganado de un gran número de intentos.
la variable aleatoria de Poisson sigue las siguientes condiciones:
- El número de éxitos en dos intervalos de tiempo disjuntos es independiente.,
- La probabilidad de éxito durante un intervalo de tiempo pequeño dado es proporcional a toda la longitud del intervalo de tiempo.
Además de los intervalos de tiempo disjuntos, la variable aleatoria de Poisson también se aplica a regiones disjuntos del espacio.
algunas aplicaciones de la distribución de Poisson son las siguientes:
- El número de muertes por patadas de caballos en el ejército de Prusia.
- defectos de nacimiento y mutaciones genéticas.
- Enfermedades Raras como la leucemia, porque es muy infecciosa y por lo tanto no independiente principalmente en casos legales.
- predicción de accidentes automovilísticos en carreteras.,
- flujo de tráfico y la distancia de separación ideal entre vehículos.
- El número de errores de escritura encontrados en una página de un libro.
- pelos encontrados en las hamburguesas de Mcdonald’S.
- La propagación de un animal en peligro de extinción en África.
- Fallo de una máquina en un mes.
fórmula para la distribución de Poisson
la distribución de probabilidad de una variable aleatoria de Poisson supongamos que X. representa el número de éxitos que ocurren en un intervalo de tiempo dado viene dada por la fórmula:
\(\displaystyle{ P }{\left({ X }\right )}=\frac{{{ E }^{-\mu}\mu^{ x }}}{{{ x }!,}} \)
donde
\(\displaystyle{x}={0},{1},{2},{3},…\)
\(\displaystyle{e}={2.71828}\)
\(\mu\)= media del número de éxitos en el intervalo de tiempo dado o región del espacio.
Media y varianza de la distribución de Poisson:
Si \(\mu\) es el número promedio de éxitos que ocurren en un intervalo de tiempo o región dada en la distribución de Poisson. Entonces la media y la varianza de la distribución de Poisson son ambos iguales a \(\mu\).,
Así
E(X) = \(\mu\)
y
V(X) = \(\sigma^2 = \mu\)
Recuerde que, en una distribución de Poisson, sólo un parámetro, \(\mu\) es necesaria para determinar la probabilidad de cualquier evento.
algunos ejemplos resueltos para usted
Ejemplo-1: Algunos vehículos pasan a través de un cruce en una carretera muy transitada a una velocidad promedio de 300 por hora.
- averigüe la probabilidad de que ninguno pase en un minuto dado.
- ¿Cuál es el número esperado de pases en dos minutos?,
- encuentre la probabilidad de que este número esperado encontrado arriba realmente pase a través en un período de dos minutos dado.
Solución: en Primer lugar vamos a calcular,
El número promedio de automóviles por minuto es:
\(\displaystyle\mu = \frac{300}{{60}}\)
\(\displaystyle\mu\) = 5
(a)Aplicando la fórmula:
\(\displaystyle{P}{\left({ X }\right )}=\frac{{{ e }^{-\mu }\mu^{x}}}{{{x}!}} \)
\(\displaystyle{ P }{\left({ x }_{{ 0 }}\right)}=\frac{{{e}^{ -{{5}}}{5}^{0}}}{{{0}!}}={ 6.,7379 }\times{10}^{ -{{3}}} \)
(b) el número Esperado de cada 2 minutos = E(X) = 5 × 2 = 10
(c) Ahora, con \(\mu\) = 10, tenemos:
\(\displaystyle{ P }{\left({ x }_{{ 10 }}\right)}=\frac{{{e}^{ -{{10}}}{10}^{10}}}{{{10}!}}={ 0.12511 }\)