I matematik, er en lineær tilnærmelse formel er en tilnærmelse af en generel funktion ved hjælp af en lineær funktion (mere præcist, en affin funktion). De er meget udbredt i metoden til finite forskelle til at producere første ordens metoder til at løse eller tilnærme løsninger til ligninger.
denne tilnærmelse er afgørende for mange kendte numeriske teknikker såsom Eulers metode til at tilnærme løsninger til ordinære differentialligninger., Ideen til at bruge lineære tilnærmelser hviler i nærheden af tangentlinjen til grafen af funktionen omkring et punkt.
Formel
Denne lektion viser, hvordan til at finde en linearisering af en funktion, og hvordan man kan bruge det til at lave en lineær tilnærmelse. Denne metode bruges ganske ofte i mange fagområder, og det kræver at vide lidt om calculus, specifikt, hvordan man finder et derivat.,
Tangentplaner og lineære tilnærmelser
intuitivt ser det ud til, at i et plan kun en linje kan tangeres til en kurve på et punkt. I tredimensionelt rum kan mange linjer imidlertid tangeres til et givet punkt. Hvis disse linjer ligger i samme plan, bestemmer de tangentplanet på det tidspunkt. En mere intuitiv måde at tænke på et tangentplan er at antage, at overfladen er glat på det tidspunkt (ingen hjørner). Derefter har en tangentlinie til overfladen på det tidspunkt i en hvilken som helst retning ingen pludselige ændringer i hældningen, fordi retningen ændres jævnt., Derfor, i et lille nok kvarter omkring punktet, berører et tangentplan kun overfladen på det tidspunkt.
Tangentlinjer og linearisering
lad os gennemgå en grundlæggende kendsgerning om derivater. Værdien af derivatet på et bestemt punkt, = = A, måler kurvens hældning, y = F (.), på det tidspunkt. Med andre ord, f ‘(a) = hældning af tangentlinjen ved a.,
Nu, tangenten er speciel, fordi det er en linje, der matcher retning af den kurve, der er tættest på den særlige x-værdi du er interesseret i. Bemærk, hvor tæt y-værdierne for funktionen og tangentlinjen er, når.er nær det punkt, hvor tangentlinjen møder kurven.,
Så, hvis kurven y = f(x) er alt for kompliceret at arbejde med, og hvis du kun er interesseret i værdier af den funktion, der er nær et bestemt punkt, så kunne du smide funktion og bare bruge den tangent. Godt, faktisk ikke smide funktionen. . . vi kan få brug for det senere!
formel til linearisering
så hvordan finder du lineariseringen af en funktion f ved et punkt = = A?, Husk, at ligningen af en linje kan bestemmes, hvis du kender to ting:
- linjens hældning, m
- ethvert enkelt punkt, som linjen går igennem, (a, b).
Vi sætter disse stykker info i punkthældningsformen, og det giver os ligningen af linjen. (Dette er bare algebra, folk; ingen beregning endnu.)
y – b = m (.–a)
men i problemer som disse får du ikke værdier for b eller m.i stedet skal du selv finde dem., For det første M = F ‘(A), fordi derivatet måler hældningen, og for det andet b = F(A), fordi den oprindelige funktion måler y-værdier.
den Lokale Lineære Tilnærmelse Formel
Lineær tilnærmelse er processen med at finde ligningen for en linje, der er tættest vurdering af en funktion for en given værdi af x. Lineær tilnærmelse er også kendt som tangent til tilnærmelse, og det bruges til at forenkle de formler, der er forbundet med trigonometriske funktioner, især i optik., Ved uendelig tæt observation begynder en kurve at ligne en lige linje, så lineær tilnærmelse kan meget nøje efterligne funktionen. For en to gange differentierbar, real-værdsat funktion f (.), 
, hvor R2 er resten sigt. Den lineære tilnærmelse er derefter givet ved 
. Denne tilnærmelse svarer til ligningen for tangentlinjen ved a.,
Anvendelser Af Lineære Tilnærmelser
Optik
Gaussian optik er en teknik, geometrisk optik, der beskriver den adfærd af lys, der stråler i optiske systemer ved hjælp akseparallel tilnærmelse, som kun stråler, som laver små vinkler med den optiske akse af systemet er taget i betragtning. I denne tilnærmelse kan trigonometriske funktioner udtrykkes som lineære funktioner i vinklerne. Gaussisk optik gælder for systemer, hvor alle de optiske overflader er enten flade eller er dele af en kugle., I dette tilfælde kan der gives enkle eksplicitte formler til parametre for et billeddannelsessystem, såsom brændvidde, forstørrelse og lysstyrke, hvad angår de geometriske former og materialeegenskaber for de bestanddele, der indgår.
svingningsperiode
Den periode, swing af en simpel tyngdekraften pendul afhænger af dens længde, den lokale styrken af tyngdekraften, og i mindre grad på den maksimale vinkel, at pendulet svinger væk fra lodret, θ0, kaldes amplituden. Det er uafhængigt af bobens masse., Den sande periode T af en simpel pendul, den tid, det tager for en komplet cyklus af en ideel simpel tyngdekraft pendul, kan skrives i flere forskellige former.