en ingeniør ven af mig overraskede mig for nylig ved at sige, at han ikke var sikker på, om nummer 1 var prime eller ej. Jeg var overrasket, fordi blandt matematikere, 1 er universelt betragtes som ikke-prime.
forvirringen begynder med denne definition, som en person kan give af “prime”: et primtal er et positivt hele tal, der kun kan deles med 1 og sig selv. Tallet 1 er deleligt med 1, og det er deleligt af sig selv. Men selv og 1 er ikke to forskellige faktorer., Er 1 prime eller ej? Når jeg skriver definitionen af prime i en artikel, jeg forsøger at fjerne denne tvetydighed ved at sige, at et primtal, der har præcis to forskellige faktorer, 1 og sig selv, eller at et primtal er et helt tal større end 1, der kun er delelige med 1 og sig selv. Men hvorfor gå til disse længder for at udelukke 1?
min matematiske træning lærte mig, at den gode grund til, at 1 ikke betragtes som prime, er den grundlæggende sætning i aritmetik, der siger, at hvert tal kan skrives som et produkt af primater på nøjagtigt en måde. Hvis 1 var prime, ville vi miste den unikke., Vi kunne skrive 2 som 1 2 2 eller 1 1 1 2 2 eller 1594827.2. Eksklusive 1 fra primerne glatter det ud.
min oprindelige plan for, hvordan denne artikel ville gå, var, at jeg ville forklare den grundlæggende sætning af aritmetik og blive færdig med den. Men det er virkelig ikke så svært at ændre udsagnet om den grundlæggende sætning af aritmetik for at løse 1-problemet, og trods alt fik min vens spørgsmål min nysgerrighed: hvordan smeltede matematikere sammen om denne definition af prime?, Et kortvarigt blik omkring nogle pagesikipedia-sider relateret til talteori viser påstanden om, at 1 plejede at blive betragtet som prime, men ikke længere. Men et papir af Chris cald .ell og Yeng .iong viser, at konceptets historie er lidt mere kompliceret. Jeg satte pris på denne følelse fra begyndelsen af deres artikel: “for det første, hvorvidt et tal (især enhed) er en prime, er et spørgsmål om definition, så et spørgsmål om valg, kontekst og tradition, ikke et spørgsmål om bevis., Alligevel er definitioner ikke lavet tilfældigt; disse valg er bundet af vores brug af matematik og, især i dette tilfælde, af vores notation.”
Cald andell og Caliong starter med klassiske græske matematikere. De betragtede ikke 1 som et tal på samme måde som 2, 3, 4 og så videre er tal. 1 blev betragtet som en enhed, og et tal var sammensat af flere enheder. Af den grund kunne 1 ikke have været prime-det var ikke engang et tal. Niende århundrede Arabiske matematiker al-kind wrote skrev, at det ikke var et tal og derfor ikke lige eller ulige., Den opfattelse, at 1 var byggesten for alle numre, men ikke et tal i sig selv varede i århundreder.
i 1585 påpegede den flamske matematiker Simon Stevin, at når man laver aritmetik i base 10, er der ingen forskel mellem cifferet 1 og andre cifre. For alle formål og formål opfører 1 sig som enhver anden størrelse gør. Selv om det ikke var øjeblikkelig, førte denne observation til sidst matematikere til at behandle 1 som et nummer, ligesom ethvert andet nummer.
gennem slutningen af det 19.århundrede betragtede nogle imponerende matematikere 1 prime, og nogle gjorde det ikke., Så vidt jeg kan fortælle, var det ikke et spørgsmål, der forårsagede stridigheder; for de mest populære matematiske spørgsmål, sondringen ikke var frygtelig vigtigt. Caldwell og Xiong cite G. H. Hardy som den sidste store matematiker til at overveje, 1 at være de vigtigste. (Han udtrykkeligt medtaget det som en prime i de første seks udgaver af et kursus i ren matematik, som blev offentliggjort mellem 1908 og 1933. Han opdaterede definitionen i 1938 for at gøre 2 til den mindste prime.)
artiklen nævner, men dykker ikke ind i nogle af de ændringer i matematik, der hjalp med at størkne definitionen af prime og eksklusive 1., Specifikt var en vigtig ændring udviklingen af sæt tal ud over heltalene, der opfører sig lidt som heltal.
i det meget mest grundlæggende eksempel kan vi spørge, om tallet -2 er prime. Spørgsmålet kan virke nonsensisk, men det kan motivere os til at sætte ord på den unikke rolle 1 i hele tal. Det mest usædvanlige aspekt af 1 i hele tal er, at det har en multiplikativ invers, der også er et heltal. (En multiplikativ inverse af tallet is er et tal, når ganget med gives giver 1., Tallet 2 har en multiplikativ invers i sæt af rationelle eller reelle tal, 1/2: 1/2.2=1, men 1/2 er ikke et heltal.) Tallet 1 er tilfældigvis sin egen multiplikative inverse. Intet andet positivt heltal har en multiplikativ invers inden for sæt af heltal.* Egenskaben ved at have en multiplikativ invers kaldes at være en enhed. Tallet -1 er også en enhed inden for sæt af heltal: igen er det dets eget multiplikative inverse. Vi anser ikke enheder for at være enten prime eller sammensatte, fordi du kan multiplicere dem med visse andre enheder uden at ændre meget., Vi kan så tænke på tallet -2 som ikke så forskelligt fra 2; set fra multiplikationssynspunktet er -2 kun 2 gange en enhed. Hvis 2 er prime, -2 bør være så godt.
jeg undgik ihærdigt at definere prime i det foregående afsnit på grund af en uheldig kendsgerning om definitionen af prime, når det kommer til disse større sæt tal: det er forkert! Godt, det er ikke forkert, men det er lidt ulogisk, og hvis jeg var dronningen af talteori, jeg ville ikke have valgt for udtrykket at have den definition, den gør., I de positive hele tal har hvert primtal p to egenskaber:
tallet p kan ikke skrives som et produkt af to hele tal, hvoraf ingen er en enhed.
Når et produkt m n n er deleligt med p, skal m eller n være deleligt med p. (for at tjekke, hvad denne egenskab betyder på et eksempel, forestil dig at m=10, n=6 og p=3.)
den første af disse egenskaber er, hvad vi måske tænker på som en måde at karakterisere primtal på, men desværre er betegnelsen for den egenskab irreducibel. Den anden ejendom hedder prime., I tilfælde af positive heltal tilfredsstiller selvfølgelig de samme tal begge egenskaber. Men det er ikke sandt for hvert interessant sæt tal.
som et eksempel, lad os se på sæt af tal af formen A+B5 -5 eller a+ib 5 5, hvor A og b er begge heltal og I er kvadratroden af -1. Hvis du multiplicerer tallene 1 +5 -5 og 1 -5 -5, får du 6. Selvfølgelig får du også 6, hvis du multiplicerer 2 og 3, som også er i dette sæt tal med b=0. Hvert af numrene 2, 3, 1 +5 -5 og 1 -. -5 kan ikke opdeles yderligere og skrives som produktet af tal, der ikke er enheder., (Hvis du ikke tager mit ord for det, er det ikke for svært at overbevise dig selv.) Men produktet (1+√-5)(1-√-5) er delelig med 2, og 2 deler ikke enten 1 +5 -5 eller 1 -. -5. (Endnu en gang kan du bevise det for dig selv, hvis du ikke tror på mig.) Så 2 er irreducible, men det er ikke prime. I dette sæt tal kan 6 indregnes i irreducible tal på to forskellige måder.,
Det antal, der er fastsat ovenfor, som matematikere kunne kalde Z (udtales “zee støder op til kvadratroden af negative fem” eller “zed støder op til kvadratroden af negative fem, pip pip, cheerio”, afhængigt af hvad du vil kalde det sidste bogstav i alfabetet), har to enheder, 1 og -1,. Men der er lignende talsæt, der har et uendeligt antal enheder. Som Sæt som dette blev genstand for undersøgelse, det giver mening, at definitionerne af enhed, irreducible, og prime skulle omhyggeligt afgrænses., Især hvis der er talsæt med et uendeligt antal enheder, bliver det vanskeligere at finde ud af, hvad vi mener med unik faktorisering af tal, medmindre vi præciserer, at enheder ikke kan være prime. Mens jeg er ikke en matematik historiker eller en række teoretiker og ville elske at læse mere om, præcis hvor denne proces har fundet sted, før at spekulere yderligere, jeg tror dette er en udvikling Caldwell og Xiong hentyde til, at motiverede udelukkelse af 1 primtal.,
som det sker så ofte, er mit første pæne og ryddelige svar på, hvorfor tingene er som de ender med at blive kun en del af historien. Tak til min ven for at stille spørgsmålet og hjælpe mig med at lære mere om primalitets rodede historie.
*denne sætning blev redigeret efter offentliggørelsen for at præcisere, at intet andet positivt heltal har en multiplikativ inverse, der også er et heltal.